Аль-Фараби

КОММЕНТАРИИ  К "АЛЬМАГЕСТУ" ПТОЛЕМЕЯ

* Об уточнении положений Луны * Об изготовлении инструмента, при помощи которого измеряется [положение] светил * О принципе, который мы применяем в вопросе  двойного  неравенства  Луны * Об  определении   [величины]   неравенства Луны в зависимости от ее расстояния от Солнца * Об определении стороны, к которой склоняется эпицикл Луны * Как с помощью линий определить истинное движение Луны по его равномерным  движениям * Об определении [метода] составления таблиц для полного неравенства Луны * О том, что неравенство  по причине эксцентрического круга не имеет ощутимой величины во время    соединений и противостояний * О параллаксах Луны * Об определении расстояния Луны * Об определении величин диаметров Солнца, Луны и [земной]  тени,  видимой в сизигиях * Об определении  расстояния  Солнца и о том, что выясняется из этого * О частных [значениях] параллаксов Солнца и Земли * Об уравнении параллакса и подробностях этого * Примечания *

ПЯТАЯ КНИГА¹⁴⁵

Об уточнении положений   Луны

[Птолемей] сказал: то, что необходимо для уточнения положений Луны в ее совпадающих и противостоящих соединениях [с Солнцем], и [для определения] времени затмений,— это первое уравнение, и знания его достаточно для этого. Что же касается [всех] прочих отдельных положений при движении [Луны], то его недостаточно. Оказывается, что для этого существует второе неравенство.

Прежде всего нам нужно знать способ изготовления инструмента, который необходим для наблюдения [небесного] тела.

Об изготовлении инструмента, при помощи которого измеряются [положения]  светил

Изготовим два одинаковых кольца, ограниченных  четырьмя    поверхностями, очень ровно [обточенными], и соединим их по диаметру [перпендикулярно друг другу]. Одно из них установим в положении круга эклиптики, а другое — в положении меридиана. Найдем на меридиане полюс круга эклиптики,— это нетрудно, потому что [для этого] мы определяем при помощи круга эклиптики на кольце по четверти меридиана. Укрепляем здесь стержень, проходящий через обе стороны [кольца], изготавливаем [еще] два кольца упомянутого вида [и помещаем их] так, чтобы одно из них располагалось симметрично обоим [первым] кольцам снаружи и могло вращаться относительно них, а второе — так, чтобы эти два первых кольца были симметричными относительно него, заключая его в себе, и чтобы вращение этого кольца происходило внутри двух [первых] в тесном соприкосновении с ними. После этого укрепим их на стержнях — одно сверху, а другое снизу [то есть снаружи и внутри]. Изготовим [еще одно] кольцо [и установим его] таким образом, чтобы его заключало в себе внутреннее кольцо и чтобы [это последнее кольцо] перемещалось в нем по направлению к обоим полюсам; делаем на нем две отметки, подобные отметкам   на астролябии. Таким образом, два кольца, укрепленные на стержнях, будут перемещаться относительно двух первых колец по долготе, а внутреннее [кольцо] будет перемещаться по широте. Потом находим на кольце меридиана наибольшее склонение, а из этого находим оба полюса небесного экватора. Помещаем 73 в эти точки два стержня, устанавливая на них снаружи кольцо, охватывающее все остальные; таким образом, распределены [все кольца]: и то, что для эклиптики, и то, что для меридиана, и [внешнее], заключающее в себе все остальные, и другие кольца. Если установить это [последнее] кольцо в плоскости горизонта перпендикулярно линии меридиана в соответствии с широтой местности и высотой полюса, наблюдаемой в ней, то вращение колец на стержнях будет подобным вращению Вселенной¹⁴⁶. Птолемей сказал: мы устанавливали это кольцо в соответствии с широтой местности, и если Солнце и Луна вместе находятся над землей, мы передвигаем верхнее кольцо, проходящее через оба полюса круга эклиптики, пока оно не дойдет до того градуса круга эклиптики, в котором находится Солнце в тот час. Мы продолжаем передвигать кольцо меридиана, проходящее через полюса, пока оно действительно не достигнет пересечения с плоскостью, примыкающей к Солнцу. Тогда верхнее [кольцо] и кольцо эклиптики затеняют друг друга, особенно если использовать [два отверстия] , подобные отверстиям на астролябии. Если через них будет видно светило, не имеющее широты, то переместимся [относительно инструмента] так, чтобы это светило было видно [как бы] на плоскости кольца, особенно если мы использовали [отверстия], подобные отверстиям на астролябии. Потом мы вращаем другое кольцо, находящееся внутри, а в нем поворачиваем то, что внутри него по направлению к обоим полюсам, пока не увидим в отверстиях [другое] светило или Луну, и при этом видим первое на соответствующем ему градусе. Прикрепив к [внутреннему кольцу] внешнее кольцо, мы получим дугу от пересечения первого кольца с кольцом эклиптики и от пересечения другого кольца [с ним же] — это дуга долготы — и другую дугу между отверстием в кольце, вращаемом через полюсы, и кольцом эклиптики — это дуга широты как на юге, так и на севере¹⁴⁷. Можно укрепить еще одно внешнее кольцо [с делениями] соответственно градусу светила, которое   совершало бы относительно него вращение, имитирующее вращение небосвода, и при помощи него измерять [положение] других светил.

О принципе, который мы применяем в вопросе двойного неравенства Луны

Птолемей сказал:  когда мы изготовили этот инструмент и произвели [при его помощи] многочисленные наблюдения, то обнаружили в положениях Луны такие соединения, которые соответствуют тому, что вытекает из предполагаемых принципов.  [Эти  соединения]   не имеют каких-либо ощутимых   отклонений, кроме тех, которые неизбежны для параллакса. Если в обеих квадратурах Луны [по отношению] к Солнцу   Луна находится в апогее или перигее эпицикла, то дело обстоит именно так. Если же [Луна] находится в квадратуре в других положениях, кроме апогея и перигея, то мы находим это уравнение несоответствующим изложенным выше принципам, а именно: прибавляемое оказывается большим,   а   вычитаемое — меньшим. Если же случается,  что Луна находится там, где имеет место предельное уравнение, то мы находим его значительно превышающим пять градусов, которые мы допустили как предел разности уравнения в вычитании или сложении.

Поэтому мы предполагаем, что центр эпицикла движется не по концентрическому кругу; иначе не изменялось бы его предельное уравнение, а по эксцентру в обеих квадратурах [Луна] находится на наименьшем расстоянии и поэтому видна [больше], создавая больший видимый угол, стягивающий большую дугу эклиптики.

Если в двух квадратурах [Луна] находится в перигее эксцентра, то при обоих соединениях она будет в апогее. Если же Луна попадает в перигей дважды в месяц в течение одного оборота, то это или невозможно, или же эксцентр движется 74 против движения центра эпицикла так, что он бывает в перигее и в апогее дважды в месяц. Из этого вытекает, что эксцентр движется к востоку в том же направлении, что и наклонный круг, [находящийся] в его плоскости. Поэтому на его плоскости, то есть на плоскости наклонного круга, имеется движение, перемещающее эпицикл к востоку, и другое движение, перемещающее его на удвоенную элонгацию, когда центр эксцентра переносится к западу. Если бы движение эксцентрического круга было бы вокруг его центра, то не изменялись бы положения апогея и перигея. Но поскольку они изменяются, то весь [эксцентрический круг] движется так, что его центр перемещается по другому кругу, изменяя и его апогей. Рассматривая истинные положения, [проходимые] за равные [промежутки] времени, и необходимое уравнение, он показал, что за равные [промежутки] времени центр эпицикла описывает равные дуги наклонного круга. Если же уравнения относительно эпицикла нет, то это имеет место на [наибольшем и наименьшем] расстояниях вблизи них. Он показал, что за равные [промежутки] времени [центр эпицикла] проходит неравные дуги эксцентрического круга, это не может быть для двух эксцентрических кругов. Поэтому мы показываем, что движение центра эпицикла равномерно вокруг центра наклонного круга, а не вокруг центра эксцентра. Так как за один средний месяц, начинающийся от соединения, Луна совершает полный оборот и дугу, проходимую Солнцем в его среднем движении, то, если [в начале месяца] средняя Луна находится в апогее эксцентра, эксцентр за [один] месяц совершит [один] оборот   без дуги,    [пройденной] Солнцем в его среднем движении.    Это потому, что в начале среднего    месяца Луна находится в апогее   и,   совершая оборот по долготе, описывает    избыточную дугу, и апогей, встречая Луну    со стороны, противоположной    ее    движению, достигает ее и доводит до    конца этой дуги. Ей остается пройти в точности такую дугу, чтобы дойти до исходного положения, где    они    разошлись. Поэтому Луна проходит [один] оборот и дугу, а деферент при своем движении в сторону запада [совершает один]    оборот без этой дуги. Избыток    движения средней Луны над движением деферента, вызванным движением    наклонного круга, [равен]  удвоению этой дуги, поскольку    первое    превышает    [полный оборот] на эту [дугу], а второе недостает до него на ту же самую  [дугу]. Он показал, что движение эксцентра, вызванное  движением  наклонного    круга, вместе с этой дугой, а не с ее   удвоением, равно избытку [движения] средней Луны по долготе над [движением] среднего Солнца за один    оборот    [Луны]. Если удвоить это, то есть разность между средним движением Луны и Солнца, то получится сумма продвижения апогея и наклонного круга с востока и среднего движения Луны в последовательности знаков Зодиака, если Солнце, точка апогея, центр эпицикла и точка наклонного круга расходятся одновременно. Это и есть два оборота: движение апогея и наклонного круга вместе со средним [движением] Солнца — первый [оборот, а движение центра эпицикла без среднего движения Солнца — второй]. Поэтому истинная величина, проходимая эпициклом по эксцентру,— два оборота.

Я утверждаю: если Солнце, центр эпицикла Луны и апогей расходятся [одновременно], то апогей проходит некоторую дугу, а центр [эпицикла] проходит в другую сторону такую же дугу и удвоенное продвижение Солнца. Солнце проходит свою известную дугу в направлении движения центра. Поэтому получается, что расстояние между центром и апогеем равно удвоению этой дуги [вместе] с удвоенным продвижением Солнца, а расстояние между центром и Солнцем равно этой дуге [вместе] с дугой продвижения Солнца. 75 Поэтому расстояние между двумя светилами равно половине расстояния между апогеем и центром. Так как избыток этого [расстояния] над продвижением Луны по долготе есть движение эксцентра, определяемого [движением] наклонного круга, то, если вычесть из этой удвоенной разности не продвижение [Луны] по долготе, а [ее] среднее движение по широте, движение наклонного круга прибавится к движению по долготе и остается движение эксцентра, [определяемое] движением апогея. Следовательно, движение эксцентра равно остатку от вычитания продвижения [Луны] по широте из удвоенной разности между средним Солнцем и средней Луной. Поэтому движение самого апогея равно остатку от вычитания среднего продвижения [Луны] по широте из удвоенного избытка средней Луны над средним Солнцем. Птолемей называет этот избыток элонгацией, а всю дугу, содержащую все движения,— двойной элонгацией. При вычислении получилось, что продвижение апогея за одни сутки составляет 11;9 градусов. Птолемей дал чертеж для объяснения этого понятия¹⁴⁸. Он говорил: пусть ABC — наклонный круг, описанный из Ε [рис. 86], Ε — также центр эклиптики. Пусть АЕС — диаметр наклонного круга, проходящий через оба центра, a G — центр эксцентра DH [в некоторое время]. Пусть [вначале] точка А одновременно — северная граница [Луны], точка апогея,    точка    [начала]    Овна, центр эпицикла Луны и среднее Солнце.

Вся плоская фигура ABC вместе с [кругом] DH продвигается за одни сутки от А в направлении D и пройдет дугу AF, величина которой три минуты, так что северная граница окажется в точке F, это конец Рыб. Плоская фигура эксцентра вместе с линией ED вращается в том же направлении и [описывает] дугу, большую, чем AF, это дуга AD. Центр эпицикла вращается от А в направлении В, и линия ЕА переходит в линию ЕВ так, что этот [центр] окажется, например, в точке H и пройдет [дугу] АВ относительно наклонного круга, если бы он был    неподвижным.

Однако в действительности северная граница движется, и между центром эпицикла и северной границей будет дуга ЕВ, равная 13;14  [градусам]. Поэтому [центр эпицикла]    в   действительности опишет эту дугу, эпицикл пройдет  от апогея дугу DH и между эпициклом и северной [границей]   составит  13;14 [градусов], а между северной границей и положением  апогея — 11;9  [градусов]. Их   сумма — 24;23   [градуса] — удвоенное продвижение средней элонгации за одни сутки, то есть   удвоенный избыток средней Луны над  средним Солнцем, это приблизительно двенадцать градусов и одиннадцать с половиной минут. Так как Солнце и Луна в течение месяца один  раз  диаметрально противоположны и один раз соединяются, причем и то и другое происходит  в апогее, то ясно, что в течение  месяца они дважды бывают в средних квадратурах, когда эпицикл находится в перигее. Чем ближе эпицикл к середине [между апогеем и перигеем], тем видимая   разность неравенства больше, так как угол при глазе [наблюдателя], образованный одной и той же вещью, изменяется и становится то больше, то меньше в зависимости от близости    и дальности — чем вещь дальше, тем угол меньше,  а чем вещь ближе, тем угол больше.

Если [рассматривать] движение эпицикла по эксцентру не относительно центра эксцентра, а относительно центра наклонного круга, то оно не будет иметь другого уравнения, кроме величины той же разности на эпицикле,  и эксцентр будет влиять на  это  только благодаря близости и дальности. Например, из точки А, диаметрально противоположной  [точке]  С [рис. 87], и 76 из С опишем два круга эпицикла, один из которых MN, а другой — FX. Так  как точка Ε не находится в центре эксцентра, поскольку мы предположили, что Ε — центр эклиптики, и через нее и через центр эксцентра проходит   прямая линия, то наибольшей будет линия, проведенная из E к эксцентру ΕА, а наименьшей — ЕС.   Следовательно,    видимый предел разности будет не меньше того, что при А, и не больше того, что при С, то есть при затмениях, соединениях и противостояниях и, [следовательно, он имеет место] в квадратурах¹⁴⁹.

Об определении [величины] неравенства Луны в зависимости от ее расстояния от Солнца

Затем он находит предел этого неравенства, определяя положение Луны по отношению к положению Солнца и исходя из расстояния между ними с помощью упомянутого выше инструмента. Если оно близко к квадратуре, когда Луна близка к середине неба, то параллакса не будет. При вычислении он нашел, что Луна находится на своем эпицикле в точке, где линия, проведенная из глаза, касается его. [Он получил] это не из одного наблюдения, а из [нескольких] последовательных наблюдений Гиппарха. Установив положение Луны, он нашел, что оно отличается от среднего на [величину], большую предела уравнения, который он нашел в начале. Тогда этот предел составлял пять градусов, а теперь — семь и две трети [градуса]. По наблюдению, проведенному Птолемеем, вычитаемое уравнение было такой же величиной, как и прибавляемое уравнение, рассчитанное Гиппархом. Это подтверждает его предыдущее интуитивное [предположение].

Он потребовал найти из этого [величину] отношения для линии, соединяющей два центра, при этом он исходит из того, что центр эпицикла движется по эксцентрическому кругу.

Он сказал: пусть FG — эпицикл [с центром] в С, являющейся перигеем эксцентра ABC [с центром] в D [рис. 88]. Если при этом не будет параллакса, пусть Ε — центр эклиптики, то есть точка глаза [наблюдателя] . Проведем EFB — касательную к эпициклу в точке F, которая перпендикулярна к CF. Угол СЕВ, соответствующий пределу неравенства, известен; прямой угол F известен; поэтому в треугольнике [CEF] отношение СЕ к CF известно. Но отношение для DC известно, поэтому отношение ДЕ к DC известно. [При вычислении] оно получилось [равным] отношению 10;19 к 39;22.

Я утверждаю, что при этом в действительности будет известным то, что между плоскостью горизонта и центром эпицикла, а не то, что между   центром Земли и [центром эпицикла], и что угол при центре Земли меньше. Но отношение для полудиаметра Земли можно определить и прибавить к той величине.

Об определении стороны, к которой склоняется эпицикл Луны

Когда Птолемей продолжал  наблюдение, он нашел, что в тригональном¹⁵⁰ и гексагональном аспектах появляется третье неравенство. Отсюда он заключает, что диаметр    эпицикла,    соединяющий его апогей с перигеем, проходил не через центр эклиптики и не через центр эксцентра, 77 а через точку, расстояние которой от центра эклиптики в сторону перигея эксцентра близко к расстоянию между   двумя   центрами.  Проходить здесь означает, что когда центр эпицикла находится в апогее или   в   перигее эксцентра, то его диаметр совпадает  с диаметром эксцентра,   проходящим через них, и оба образуют одну   прямую линию. Если центр [эпицикла] смещается от этой точки деферента, то эти линии расходятся и становятся не параллельными друг другу, так что обязательно соблюдается их пересечение    внутри деферента, если    продолжить   диаметр эпицикла в его направлении. Это пересечение происходит не в точках центров, а в другой точке. Пересечение приводит опять к совпадению, и конец диаметра эпицикла всегда сохраняет примыкание к этой точке.

Что касается способа нахождения этого неравенства¹⁵¹, то это Птолемей осуществил с помощью наблюдений, в том числе двух наблюдений, проведенных Гиппархом; одно из них осуществлено упомянутым инструментом; при этом видимое Солнце находилось на 7;45 [градусах] Тельца; видимое место Луны — на 21;40 [градусах] Рыб, истинное— на 21;27,30 [градусах] Рыб; действительное расстояние между [положениями] Луны и Солнца составляло 313;42 [градусов]; среднее расстояние между ними — 314;28 [градусов]. Место Луны в среднем движении [по долготе] было на 22;13 [градусах] Рыб, а ее расстояние от средней наиболее отдаленной точки эпицикла равнялось 185;30 [градусам]. Исследуя положение Солнца и среднее [положение] Луны, ее неравенство и уравнение, он нашел, что это среднее [положение] опережало по отношению к эклиптике свое место, исследуемое по наблюдению, так что уравнение стало вычитаемым, центр эпицикла — приблизительно в середине между апогеем и перигеем эксцентра, а прохождение по аномалии должно быть больше половины круга от апогея, а это приводит к тому, что уравнение должно быть прибавляемым. Но оно получилось вычитаемым и не имеет места прохождения на половину круга от апогея эпицикла. Поэтому должен быть неподвижный апогей, расстояние которого от этого [апогея] не достигает половины круга и который нам не виден. Поэтому мы покажем [все относительно] видимого апогея; Луна была расположена к западу от видимого перигея и к востоку от среднего перигея, относительно которого вычисляется среднее [положение]. Поэтому средний перигей отстает по эклиптике от видимого перигея на расстояние от Луны до видимого перигея. Если бы [перигей эпицикла] считался примыкающим к точке, являющейся центром эклиптики, то этого бы не произошло.

Затем он показал положение этой точки с помощью рисунка и сказал: пусть ABC круг эксцентра около D, его диаметр, проходящий через центр эклиптики Е, — линия ADC [рис. 89]. А — апогей, С — перигей. GHF — эпицикл около В движется, например, от В к А; Луна движется    из G к Н, затем к F; соединим DB, а также ЕВ; [DB] пересекает эпицикл в F, это видимый перигей. Но расстояние  среднего  [положения] Луны от среднего [положения] Солнца известно, поэтому его удвоение известно.

Это расстояние апогея от центра эпицикла по эклиптике, которое составляет триста пятнадцать градусов с лишним, его удвоение больше, чем круг, и остаток после вычитания целого оборота от этого удвоения известен. Однако его среднее [значение] известно не относительно круга деферента, а относительно концентрического с наклонным круга. Тогда угол АЕВ будет известен, так как он находится у центра наклонного [круга]. Поскольку угол 78 АЕВ стягивает [дугу] меньше четверти [круга] , то есть острый, то если опустить из D перпендикуляр на ЕВ, он расположится внутри треугольника; пусть им будет DK.    Отношения   в  треугольнике DEK известны, так как угол DEK    известен; угол К — прямой. Поэтому DK известен [по отношению] к DB, KB, являющаяся одной из сторон прямого [угла], будет известной. Следовательно, ЕВ известна.  Пусть Луна   [находится] в Н, соединим ЕН. Из В  восстановим перпендикуляр BL к ЕН.  Поскольку угол В прямой, то он известен;   угол BEL, являющийся [углом] уравнения, определяется из наблюденного истинного положения. Поскольку среднее [положение] находится по вычислению и разность между обоими    положениями известна, то отношения в треугольнике BEL известны. Проведем BE;   поскольку ВЫ и BL из треугольника BHL известны, а [угол] L прямой, то угол BHL известен;     поэтому    оставшийся    угол FBH будет известен. Следовательно, дуга FH, то есть расстояние между Луной и видимым перигеем,  будет  известна. Однако расстояние Луны  в аномалиях от среднего перигея известно.

Пусть по вычислению средний перигей, опережающий Η по эклиптике, будет в точке М; соединим ВМ и продолжим ее по прямой. Как мы знаем, она обязательно пересечет линию АС; пусть она [пересечет ее] в N. Из Ε опустим перпендикуляр ЕХ [к ΒΝ]; он расположится внутри треугольника, так как угол АЕВ острый и внутренний угол ΕΝΧ острый. Поскольку дуга FH известна, дуга НМ, то есть то, что между средним перигеем и местом светила, известно из прохождения по средней аномалии, то дуга FM известна. Поэтому угол ЕВХ известен. Но [угол] X прямой и линия ЕВ известна, поэтому ЕХ известна. Поскольку угол АЕВ известен и угол ЕВ известен, то оставшийся угол ΕΝΒ известен; поэтому отношения в треугольнике ΧΕΝ известны. По вычислению получается, что если DE — 10;19, то Ε — 10;18. Пересечение двух линий АС и ΒΝ будет внутри эксцентра. Таким образом, выясняется истинность примыкания со стороны перигея при этом наблюдении.

Он говорил: мы докажем аналогичное со стороны апогея. Он рассмотрел наблюдение Гиппарха на острове Родос и нашел указанным методом, что среднее [положение] Луны отлично от ее истинного положения; при вычислении выходит, что она [находится] на 27;20 [градусах] Льва, а по видимости она на 29 [градусах] Льва. При этом она была близка к середине неба и не имела параллакса по долготе. Ее расстояние от видимого апогея меньше того, что определяется по вычислению на основе указанных выше истинных принципов. Аналогичным методом он доказал те же вопросы, которые он доказал по первому рисунку; они не отличаются за исключением того, что точка Η в апогее, перпендикуляр BL падает, не доходя до [точки] Н, и перпендикуляр DK на другой стороне [рис. 90]. Он определил угол DEK и [линии] DK, 79 КЕ и ЕВ и [затем] — ЕВ. Но оставшийся угол ВЕН уже найден, L — [прямой], поэтому он вычислил отношения сторон и углов треугольника EBL. Но стороны BL и ВН известны и угол L прямой, поэтому он определил угол BHL и весь [угол] ЕВН; остаток от двух прямых НВ известен, он находит дугу HG.

Дуга НМ определена по вычислению. Это расстояние от среднего апогея. Отсюда он определил дугу GM и угол GBM, то есть EBN. Затем он находил и все остальные углы и дуги по этому образцу. Получилось, что если DE — 10;19, то EN—10;20, так что они [очень] близкие. Если мы прибавим примерно то, что вычиталось, то получится такое же отношение. Таким образом, он определил, что это прохождение сохраняется и не изменяется.

Как с помощью линий определить истинное движение Луны по его равномерным   движениям

Птолемей показывает, как геометрическим путем определяется расстояние Луны по средним отдельным движениям, чтобы найти ее истинное положение.

Он сказал: мы можем определить это из приведенного нами рисунка, если мы проведем рассуждение в обратном порядке. Предположим, что углы АЕВ и МВН известны. Вместо перпендикуляра ЕХ мы опустим перпендикуляр NX к ЕВ; а вместо BL — перпендикуляр HL к ЕВ [рис. 91]. Мы находим отношения в треугольнике DKE из прямого [угла] и из угла ΚΕΑ. Затем находим отношения в треугольнике KDB через определения DB и KD и прямого угла.

Тогда ЕВ будет известна; треугольник ΧΕΝ равен и подобен треугольнику KDE; NX равна DK. Находим остаток ХВ, треугольник BXN и угол EBN, то есть MBG. Следовательно, дуга MG известна, но дуга МН известна, поэтому дуга GH и угол GBH известны. Угол HLB — прямой, поэтому [половина] хорды BL известна; тогда вся EL известна.  [Сторона]  LH  треугольника BLH известна, поэтому ЕН и угол LEH, то есть разность уравнения, известны.

Об определении [метода] составления таблиц для полного неравенства Луны¹⁵²

Когда он определил способ установления этого уравнения с помощью линий, он составил таблицы для полного неравенства Луны. В [таблице] первый столбец содержит [числа аргументов] от единицы до ста восьмидесяти [градусов] в порядке возрастания, а в другом — наоборот. В третьем столбце дано уравнение апогея эпицикла в отношении места центра эпицикла от апогея, деферента и для каждого места [содержится] значение угла уравнения апогея. В четвертом столбце [дается] уравнение первого неравенства, 80 имеющее место, когда центр эпицикла Луны находится в апогее эксцентра, а Луна движется [по эпициклу] противоположно [последовательности знаков Зодиака]. Он привел уравнение для каждой величины движения [Луны] по аномалии, которое соответствует ее уравнению в противостояниях и в затмениях. В пятом столбце он поместил избытки уравнений, получающиеся  при нахождении центра эпицикла в перигее и движения Луны по аномалии. Он привел [здесь] соответствующий этому ее движению избыток уравнения неравенства, записанного в четвертом столбце. Это уравнение получается в квадратурах. Так как центр эпицикла может находиться не только в одном из двух противоположных расстояниях, то есть в апогее или перигее, а между ними, то он привел соответствующий избыток уравнения и в этом случае. Для этого он сначала сделал рисунок, подобный предыдущему.

Птолемей сказал: пусть градусы элонгации будут известными, например, шестьдесят [градусов], угол АЕВ — удвоенная элонгация [рис. 92]. Проведем линию EMN, касающуюся [эпицикла] в точке М. Отношения в прямоугольном треугольнике EDL известны. Поскольку ВМ известна, то, как мы видели, ЕВ станет известной. ВМ, то есть перпендикуляр к касательной, известен; поэтому угол ВЕМ известен, это есть угол предела разности уравнения при [значении] элонгации сто двадцать [градусов], что больше простого уравнения на один градус пятьдесят три минуты; избыток этого уравнения при перигее составляет два градуса тридцать девять минут. Это [приблизительно] два и две трети градуса; [если принять их] за шестьдесят [минут], то [1;53 градуса соответствует] 42 минутам и 38 секундам.. Он   поместил это    против    ста двадцати.

Так же он вычислил и для всех других [градусов], составил шестой столбец и поместил в каждую ячейку то, что соответствует числу, записанному против него в первых двух столбцах, представляющему значение элонгации. Во втором столбце дается избыток наибольшего уравнения для этих градусов над наибольшим уравнением в апогее. Это не берется в отношении значений уравнения, а полученное представляет [число] шестидесятичных долей от двух третей градуса, которое представляет наибольшее уравнение в перигее. Поскольку невозможно рассмотреть одновременно оба перемещения, одно из которых — перемещение центра эпицикла, а другое — перемещение Луны, то он удовлетворился перемещением центра эпицикла и неподвижностью Луны в отношении точки касания.

После этого он заполнил последний столбец, где поместил предельное расстояние Луны от северной границы, которая является дугой ее широты, ограниченной наклонным кругом и эклиптикой на большом круге, проходящем через полюсы эклиптики и стоящем к ней под прямыми углами. Значения этих дуг вычисляются тем же методом, что и склонения градусов эклиптики при известном наибольшем склонении. Таким же образом легко вычисляются широты наклонного [круга] при известной наибольшей широте, равной приблизительно пяти градусам.

Если мы хотим найти эфемериды 81 Луны, то берем средние движения по долготе, широте и аномалии от среднего апогея и движение элонгации: удвоим расстояние между средними [положениями]  Солнца и Луны    относительно

данной местности и данной эпохи. Отнимем от нее полные обороты с тем, чтобы осталась [дуга], которая меньше круга. Затем находим удвоенную элонгацию в двух столбцах; берем его уравнение из третьего столбца и [пропорциональные] минуты¹⁵³ из шестого столбца. Если число из первого столбца, то прибавим уравнение к неравенству, которое мы запоминаем; если из второго столбца, то его вычтем; тогда выравнивается неравенство Луны, если она не находится в апогее и перигее. Затем находим из столбца число и берем то, что соответствует ему в четвертом и пятом столбцах; запоминаем то, что в четвертом столбце, и умножим то, что в пятом столбце, на минуты, взятые из шестого столбца, и делим на шестьдесят. То, что получается,— это разность, которую следует прибавить [к тому, что] в четвертом [столбце]. Если исправленное движение Луны по кругу эпицикла меньше ста восьмидесяти [градусов], то отнимаем его от [градусов] среднего [положения] Луны по долготе и широте; если же больше, то прибавляем его. То, что получено по долготе, мы отсчитываем от [числа] градусов, полученных для Луны, тогда оставшееся число покажет ее истинное положение. Соответствующее число для широты, [отсчитываемой] от северной границы, мы берем из столбца широты. Ты знаешь, что широта бывает южной или северной в зависимости от расстояния от северной границы¹⁵⁴.

О том, что неравенство по причине эксцентрического круга не имеет ощутимой величины во время соединений и противостояний

Когда Птолемей закончил это предложение, кто-то ему сказал: при наблюдении за затмениями ты предполагал, что центр эпицикла находится в апогее деферента, что это обязательно при противостояниях и соединениях; затем ты основываешь уравнение на этом; однако дело обстоит не так при истинных соединениях и противостояниях, при которых происходят затмения; это обстоит действительно так при средних соединениях и противостояниях, при истинных же соединениях и противостояниях у Солнца может быть уравнение, центр эпицикла также может отклоняться от апогея, пока не произойдет истинная встреча, что приводит к уравнению из-за приближения Луны к Земле, снижения Луны и наибольшего приближения ее к Земле. Он сказал, что это отклонение не вызывает существенной разницы в уравнении, так как это отклонение приводит к уравнению по одной из двух причин: оно либо исходит по причине приближения центра эпицикла к Земле, либо изменения наибольшего приближения. Там, где одна из этих [причин] приводит к пределу соответствующего уравнения, другая не вызывает при этом существенной разницы, так как предел избытка уравнения, к которому приводит изменение апогея, бывает тогда, когда [Луна] находится в апогее или в перигее эпицикла, при двух же средних расстояниях это не имеет существенного значения. Предел избытка уравнения, к которому приводит различие [в расстоянии], наблюдается в том случае, когда она находится около касательной линии, а там примыкание не вызывает существенной разницы уравнения.

Он сказал: пусть будут эксцентрический круг и эпицикл, как приводилось неоднократно на рисунке, и пусть эпицикл смещен на дугу 82 АВ [рис. 93]. Истинное Солнце или диаметрально противоположно Луне, или отклонено в сторону запада. Тогда наибольшая величина разности между двумя средними есть сумма двух уравнений: одна из них прибавляется, а другая вычитается. Пусть наибольшее прибавляемое уравнение Солнца — два градуса двадцать три минуты, а наибольшее вычитаемое уравнение Луны, которое получается при касательной линии,— десять [градусов шесть минут].

Это предел средних расстояний или предельное расстояние между средним [положением] одного и средним [положением] другого, диаметрально противоположного ему, это расстояние известно во всех случаях; удвоенное расстояние между ними будет известно, так что угол АЕВ, соответствующий удвоенной элонгации, будет известен. Проведем касательную EF и DM, перпендикулярную к BE, и перпендикуляр BF. Определим два треугольника — DEM и DMB, как это было сделано, находим линию ЕВ; BF известна. Определим прямоугольный треугольник BEF, в котором известно отношение ЕВ к BE, поэтому угол BEF становится известным ; по вычислению он равен 5;3 [градусам], что больше на две минуты того, что в апогее. Отсюда последует ошибка меньше одного градуса, так как она равна одной шестнадцатой часа.

Такая разница может получиться в самом наблюдении и не поддается исправлению. Она происходит по причине приближения центра эпицикла на эксцентре [к Земле].

Что касается разницы, получающейся из-за наклонности к апогею, то он также показал с помощью другого рисунка, что она не оказывает заметного влияния.

Птолемей сказал: пусть Луна [находится] в L, то есть в среднем перигее [рис. 94]; тогда угол АЕВ содержит приблизительно удвоенное [значение] солнечного неравенства. Это потому, что Луна в этом месте не имеет заметной разности первого неравенства. Поэтому если [разность] неизбежна, то она относится к Солнцу и равна расстоянию между средними. Угол АЕВ стягивает удвоение этого. Проведем EL и опустим из D перпендикуляр DM к ЕВ, а из G — перпендикуляр — GX к ЕВ, из L — перпендикуляр LN. Определим ЕВ и BG путем последовательного [вычисления].

В треугольнике GXB отношение известной GB к GX и к ХВ равно отношению известной В соответственно к LN и NB; отсюда определим LN и NB. В треугольнике LEB находим угол BEL. По вычислению он равен четырем минутам; происходящая при этом ошибка не достигает одной восьмой часа, следовательно, и эта ошибка [происходит] в самом наблюдении.

О параллаксах Луны

Ты уже знаешь 83 смысл параллакса Луны. Теперь необходимо провести исследование и определить, каким образом мы можем различить ее истинное место от видимого и наоборот. Это зависит от ее расстояний от Земли, а определение расстояний — от параллакса, из которого мы находим расстояния и затем все остальные неравенства.

Птолемей сказал: Гиппарх начал исследование, исходя из [наблюдений] Солнца. Из [разных] явлений, происходящих для двух светил, тебе будет показано, что ты можешь рассчитать расстояние до [одного] из них через определение расстояния другого. Гиппарх рассмотрел сначала обстоятельства расстояния Солнца, а из этого — расстояния Луны. Он добился нахождения расстояния Луны, исходя из предположения, что Солнце имеет ощутимый параллакс, хотя и очень маленький. В этом он противоречит себе. При рассмотрении некоторых солнечных затмений он утверждал, что Солнце совсем не имеет параллакса, а здесь утверждает, что оно имеет достаточно большой параллакс. У него есть подобная путаница в утверждении не только о самом параллаксе, но также и о вычислениях расстояния Луны.

Далее Птолемей начинает с построения инструмента, годного для наблюдения расстояний, и называет его [инструментом] с двумя ответвлениями¹⁵⁵.  Его устройство таково:  берутся две медные линейки, ограниченные четырьмя    плоскими поверхностями, причем   каждые две  [противоположные   плоскости] — параллельные и равные, их ширина приблизительно втрое больше толщины,  а толщина — приблизительно равна  толщине мизинца. Закрепим одну линейку на конце другой с помощью оси и шарнира так, чтобы одну можно было закрепить неподвижно, а другую вращать. Построим на той, которую мы   решили закрепить,  два отвесных кирпичика, а на одной грани другой [линейки] — два противоположных и равных друг другу по длине и ширине диоптра, как    два диоптра астролябии;  поставим их   как можно дальше друг от друга и в диоптре, обращенном к свободному [концу], сделаем очень маленькое отверстие, а в том, который обращен    к    оси,— более широкое так, чтобы через него   можно было видеть всю    Луну   через    другой диоптр. Начертим в каждой    из    двух более широких плоскостей линию, разделяющую плоскость пополам, разделим ее на шестьдесят частей и каждую часть — на ее минуты. Закрепим в свободном конце плоскую линейку, которая может вращаться так, чтобы она могла соединить [концы] первых двух линеек, когда они расположены друг к другу под прямым углом. Поставим линейку, не имеющую диоптров, перпендикулярно к плоскости горизонта; это осуществляется с помощью подвешивания отвеса.

После этого мы закрепим ее, чтобы она не отклонилась [от этого положения] . Мы сделаем так, чтобы другая линейка вращалась вокруг нее в плоскости меридиана. Для этого мы предварительно найдем меридиан и направим к небу тот конец [первой линейки], на котором находится ось, а другой ее конец направим к земле.

Если мы хотим наблюдать широту Луны в круге меридиана и ее расстояние от Солнца, то смотрим на нее через диоптр движущейся линейки в оба отверстия. Отметим величину угла, образованного между двумя линейками, поставив линию с делениями, начерченную на третьей линейке, на концы двух линий, проведенных на двух [первых] линейках. Обе эти линии равны. То, что отсечется между этими концами от третьей линейки, и будет хордой дуги [меридиана] между зенитом и 84 положением Луны на круге меридиана, то есть круга, проходящего через полюсы небесного экватора. Может случиться, что этот [круг] проходит и через полюсы эклиптики, если Луна находится в солнцестояниях. Для наблюдения широты [Луны] из двух солнцестояний предпочитается летнее, а из двух границ — северная, поскольку, когда Луна находится в них, она не имеет такого параллакса, как в противоположном конце.

Он сказал: для определения широты мы наблюдали Луну в Александрии в [точке] летнего солнцестояния в северной границе. Благодаря этому существенной разницы между видимым и истинным ее положениями не отмечалось; ее расстояние от зенита в это время равнялось приблизительно двум и одной восьмой градуса.

Следовательно, наблюдаемые широты в разные времена должны быть подобными по ощущению и равны пяти градусам.

Для наблюдения параллакса предпочитаются зимнее солнцестояние и южная граница, так как параллакс увеличивается при увеличении расстояния от зенита и предел параллакса достигается при пределе расстояния. Одно из наблюдений, ведущих к нахождению обстоятельства параллакса, было произведено, когда Солнце заходило, а расстояние от зенита до Луны в круге меридиана было пятьдесят, половина, треть и одна двенадцатая градуса и дата, [принятая] для [начала] эпохи, и эфемерид приводили к тому, что истинное положение Солнца было на 5;28 [градусах] Весов; истинное [положение] Луны — на 3;10 [градусах] Козерога; [аргумент] широты — на 354;40 [градусах] от северной границы; ее широта на 4;59 [градусах] к северу [от круга, проходящего через полюсы эклиптики [, склонение точки эклиптики, в которой находилась [Луна], 23;49 [градусов], расстояние меридиана от зенита, то есть широта местности — Александрии, в которой производилось наблюдение, 30; 58 [градусов]; истинное расстояние Луны от зенита равно сумме широты местности и склонения градуса [эклиптики] с вычетом широты Луны; это 49 градусов и 48 минут; ее видимое расстояние равнялось 50;55 [градусам]. Следовательно, получается параллакс в один градус и семь минут; весь этот [параллакс] по широте, и ничего существенного не происходит по долготе, так что точка находилась в начале [градусов] Козерога, а Луна наблюдалась, когда она была близка к меридиану.

Об определении расстояния Луны

Пусть круг АВ представляет Землю, CD — круг, проходящий через центр Луны и места наблюдения, центр этого круга  есть  центр  Луны  [рис.   95].

EG — круг, по отношению к которому Земля не имеет параллакса. Пусть Луна находится в точке D, К — центр Земли и центр каждого из [этих] кругов; продолжим KD до Η из круга EG;  пусть точка А — место   наблюдения и линия    ADF — линия    наблюдения; тогда FH будет [дугой] параллакса. F — видимое место Луны, а Н — ее истинное место. Проведем КАСЕ до зенита и линию AG, параллельную линии КН. Тогда поскольку диаметр Земли не имеет ощутимого значения   по отношению к кругу EG 85,   то GF будет больше HF на неощутимую [величину].  Угол ЕКН известен, так как его стягивает известное истинное расстояние;  тогда угол EAG известен. Угол EAF известен, потому что его стягивает видимое   расстояние, поэтому остается угол GAF известным по наблюдению. Это равно углу ADK. Из  точки А опустим перпендикуляр AL на КН. Тогда отношения в треугольнике AKL будут известны, [отсюда] вычисляем АК, то есть полудиаметр Земли. Также    треугольник  ADL имеет два известных угла: прямой, угол ADL и известную сторону AL; DAL — оставшийся угол, [поэтому] можно считать, что все три угла    известны.    Две стороны [угла] DAL известны, поэтому отношение всей KD к КА известно. Таким образом, отношение расстояния Луны от центра Земли    к    полудиаметру Земли в этом наблюдении известно.

По вычислению находим,    что если АК [равна]  единице, то    KD — 39;45.

Таким образом, с помощью этого рисунка найдено расстояние Луны во время наблюдения. Из этого можно определить отношение ее расстояний в сизигиях и квадратурах и отношение диаметра ее эпицикла к диаметру Земли. Начертим эксцентр и эпицикл, и пусть Луна будет в [точке] L эпицикла, проведем соединительные линии аналогично тому, что было раньше [рис. 96]; проведем перпендикуляры DM и GN. Положение Луны по аномалии известно из указанного наблюдения. Расстояние Луны от среднего апогея 262;20 [градуса], следовательно, от среднего перигея К она отстоит на оставшиеся градусы после [вычета] полукруга, то есть на 82;20 [градуса].

Но FK, то есть уравнение между перигеями, по вычислению равняется дополнению 82;20 до девяноста градусов, то есть семи градусам и двум третям [градуса], вся дуга LKF — девяносто градусов, значит, угол LBF — прямой.

Поскольку угол АЕВ, стягиваемый удвоенной элонгацией, известен, то треугольник DME равен и подобен треугольнику EGN; отношения в них известны. Точно так же будет известен треугольник DGB по двум сторонам и прямому углу, тогда отношения DE, BE и других линий будут известными. Поскольку угол EBL прямой и его стороны ЕВ и LB известны, то будет известна EL по отношению к BL. Из предыдущего рисунка известно его отношение к полудиаметру В эпицикла; полудиаметр эксцентра DB, среднее расстояние в сизигиях ΕА, среднее расстояние в квадратурах ЕС и две соединяющие [линии] известны по отношению к полудиаметру Земли. Итак, линия ЕА — 59, ЕС — 38;43, BL — 5;10, EL — 39;45.

Он сказал: из определения этих расстояний и углов, образованных при глазе, можно определить расстояние Солнца и его величину. Если будем наблюдать середины затмений и их высоты относительно неподвижных звезд, имеющих постоянные долготы и широты, и относительно Солнца, то мы можем найти средние времена затмений и отсюда — долготу и широту. Что касается инструментов, которыми определяют время (с помощью водяных измерителей) или времен восхождений, 86 [выраженных] в прямых [часах], то они не приводят к нахождению этого.

Об определении величин диаметров Солнца, Луны и [земной] тени, видимой в сизигиях

Что касается способа определения расстояния Солнца, то сначала он приводит предпосылку: [Гиппарх] наблюдал величину диаметра Солнца с помощью [инструмента] с двумя ответвлениями, просматривая через оба его отверстия и отмечая угол между [линейками] ; величина этого угла не изменяется во всех расстояниях Солнца. Что касается Луны, то ее диаметр изменяется по видимости в зависимости от расстояния; она видна под таким же [углом], что и Солнце, когда она находится в наибольшем расстоянии [от Земли], а в других местах Луна видна под большим [углом, чем Солнце]. Утверждение ученых о том, что она видна под таким же [углом], что и Солнце в среднем расстоянии, ошибочно; они ошибались также при измерении угла, под которым видно Солнце.

Он сказал: мы нашли этот [угол] меньше упомянутого ими. Вообще нет необходимости в этих измерениях при уточнении расстояния Солнца и его величины. Птолемей при  определении    величины диаметра Солнца не произвел измерения угла указанной линейкой, потому что ее трудно установить и уточнить, а пользовался некоторыми лунными затмениями, как мы покажем позже. Наблюдение с помощью этой линейки помогло установить, что если угол наблюдения Солнца и угол наблюдения Луны равны, когда они видны под одним и тем же углом, то утверждение о равенстве их расстояний не будет ошибочным. Что касается измерения этого угла при помощи указанного инструмента, то здесь можно допустить большую ошибку. Поэтому он при измерении обоих диаметров не исходит из [величины] этого угла, а пользуется им только при вычислении их видимого равенства.

При рассмотрении полных солнечных затмений было установлено, что иногда у них есть продолжительность, а иногда нет. Когда у них есть продолжительность, то ясно, что [поскольку при этом] диаметр Луны по видимости неизбежно больше диаметра Солнца и так как она движется под ним и расходится с ним, то она является [причиной] его покрытия. Если же у них нет продолжительности, то оба диаметра равны по видимости, так как если бы диаметр Луны был меньше, то Солнце не затмевалось бы полностью, а если бы диаметр Солнца был меньше, то полное затмение имело бы продолжительность. Не бывает такого солнечного  затмения, имеющего продолжительность, когда Луна находится на наибольшем расстоянии. Полные затмения Солнца при средних и близких расстояниях Луны от Земли обладают продолжительностью. Отсюда доказывается, что диаметр Луны при наибольшем расстоянии равен диаметру Солнца.

Что касается величин диаметров, то Птолемей показал способ их нахождения, [исходя] из двух затмений, при одном из них затмевалась четверть его диаметра с южной стороны. Вычисление эфемеридов Солнца и Луны показало, что Луна находится на расстоянии 9;20 [градусов] от узла и ближе к апогею эпицикла; расстояние между ними приблизительно двадцать градусов без семи минут. Но центр эпицикла не может быть близким к апогею деферента; поэтому это расстояние от узла входит в данной части конуса [тени], то есть когда Луна находится вблизи апогея эпицикла, который сам близок к апогею деферента, то это приводит к тому, что такая часть диаметра Луны попадает в тьму.

При втором — северном затмении затмевалась половина диаметра Луны, а эфемериды Солнца и Луны приводили к тому, что расстояние [Луны]    от узла равнялось 7;48 [градусам], а [ее] расстояние от апогея эпицикла было близко к первому расстоянию 87 и равнялось двадцати восьми градусам и пяти минутам. Такая разница не оказывает на расстояние от Земли какого-либо значительного влияния. Это расстояние от узла приводит к тому, что затемнение доходит до центра круга тела Луны. Ширина Луны в первом положении была равна 0; 48; 30, ширина Луны во втором положении — 0; 7; 50; следовательно, четверть диаметра Луны составляет 0;7;50. Вся Луна в этом положении стягивает по большому кругу — 0; 31; 20. Половина диаметра конуса [тени] в этом месте стягивает указанную во втором наблюдении ширину, так как затмение доходит до центра круга Луны, а центр конуса [тени] всегда находится на эклиптике. Это меньше удвоенного радиуса тела Луны и три пятых его половины на незначительную [величину]. Он проверил этот результат и подтвердил его с помощью других многочисленных наблюдений.

Об определении расстояния Солнца и о том, что выясняется из этого

Он сказал: после вычисления этого переходим к изложению метода определения расстояния Солнца и его величины, который основывается на рассмотрении лунного затмения. Для этого приводим одну предпосылку. Пусть в треугольнике ABC проведена DH параллельно его основанию [рис. 97] и пусть DE равна BD. Из точки Ε проведена другая параллельная линия — EG. Тогда GE и СВ вместе вдвое больше DH. [Доказательство]. Проведем GK параллельно BE. Тогда ясно, GE и ВК вместе вдвое больше DF. Поскольку СК относится к FH как KG к FG, то есть как BE к DE, a BE вдвое больше DE, то СК вдвое больше FH. Следовательно, GE и ВКС вместе вдвое больше DFH¹⁵⁶.

Пусть KLM — круг Земли, HGE — круг Луны в наибольшем ее расстоянии, ABC — круг Солнца во время его затмения Луной [рис. 98] ; их тела касаются конусом зрения, пусть эти круги [лежат] на одной и той же плоскости. Пусть эта плоскость отсекает плоскость АХС от конуса, по которому проходят [лучи] Солнца, образуя тени Земли, а от конуса зрения, охватывающего Солнце и Луну,— плоскость ANC. Соединим точки касания кругов с сечениями двух конусов линиями АС, ЕН и КМ; продолжим ЕН до I; пусть OQ — диаметр круга тени, когда Луна находится в наибольшем расстоянии; пусть линия DX — стрела большого конуса, проходящая через все центры, то есть через D, F и N. Она пересекает OQ в Р; ты знаешь, что всякие две линии, проведенные из одной и той же точки и касающиеся одного и того же круга, равны между собой; поэтому каждые две из линий XN и ΑΝ; ΜΗ и ΝΕ, а также ХС и ХА, ХО и XQ равные и образуют равнобедренные треугольники, и основание каждого треугольника отсекает равные его стороны; поэтому АС и ЕН, АС и КМ, АС и OQ будут параллельными; все они [лежат] на одной и той же плоскости, параллельны между собой и являются в чувстве диаметрами, хотя это не так в действительности, а отличаются друг от друга на незначительную [величину]. Угол ANC и его половина FNH известны; угол NFH — прямой, потому что он равен углу NFE; линия FN, представляющая наибольшее расстояние,— известна, поэтому отношения углов и сторон треугольника FNH известны;   отношение HF 88  к FN, которое имеет известное отношение к полудиаметру Земли MN,— известно; отношение FH к PQ известно, поэтому PQ известна. QP и FI [вместе] — есть удвоенная MN, поэтому их сумма известна; PQ и FH известны, оставшаяся Ш известна; NM относится к HI как NC к СН, то есть как ND к DF. Выделяя, получим, что избыток MN над HI относится к HI как известная NF к известной FD; FD известна, следовательно, ND известна. FH относится к DC как NF к ND, поэтому CD известна. ND, то есть расстояние Солнца от Земли, получилось при этом наблюдении равным 1210, а линия CD, то есть полудиаметр Солнца,— приблизительно равен 5;30 [земным полудиаметрам] . Можно определить EN, CN, NP, NX; таким образом, получается, что линия NX — 268; если предположить диаметр Луны единицей, то диаметр Земли будет равен 3;24, диаметр Солнца — 18;48. Но отношение сфер друг к другу — это тройное отношение их диаметров. Тогда объем Земли в 39,15 раза больше объема Луны, а объем Солнца в сто семьдесят раз больше объема Земли. Итак, он показал то, что хотел.

О частных [значениях] параллаксов Солнца и Земли

Птолемей переходит к выяснению обстоятельства параллакса Луны через определение ее расстояний. Если Луна находится в некотором известном расстоянии, то как определить ее параллакс? Он начертил рисунок [рис. 99] для параллакса, аналогичный предыдущему рисунку; так что истинное положение Луны будет в Н, а видимое — в F. Ее параллаксом будет HF, которая в чувстве равна GF.

Птолемей сказал: пусть расстояние Луны от Зенита [содержит] известное [число] градусов, тогда угол К известен, L — прямой. Поэтому отношения в треугольнике AKL известны; точно так же в треугольнике ALD угол ALD и, следовательно, угол GAF будут известны. Так как между ним и тем, который у центра, нет различия по отношению к кругу EF, дуга GF, то есть та, которая не отличается в чувстве от HF, будет известной; это и есть параллакс для известного расстояния. Таким же образом он вычислял для [расстояний] через каждые шесть градусов вплоть до девяноста. Затем он взял разницу, соответствующую каждым шести градусам, и разделил ее на три. При этом он применял сокращение и приближение и приложил полученное к таблице   с интервалом через каждые два [градуса].

Он составил таблицу для параллаксов¹⁵⁷, в первый ее столбец поместил градусы квадранта, увеличивающиеся через каждые два градуса вплоть до девяноста. Это градусы расстояния от зенита. Во второй столбец — параллакс Солнца; в третий столбец — параллакс Луны в первом случае; в четвертый столбец — избыток параллаксов [Луны] 89 во втором случае над [тем, что] в первом случае, в пятый столбец — параллакс [Луны] в третьем случае. Так как упомянутые выше расстояния Луны определились, когда [эпицикл находится] в двух апогеях или в двух перигеях согласно способам деления, которые мы знаем, то, если центр Луны или центр эпицикла отклоняется, для нахождения параллакса нам нужно определить его расстояние.

Пусть A BCD — эпицикл и G центр Земли [рис. 100]; проведем GDA, где D — видимый перигей, А — видимый апогей, В — точка смещения от видимого апогея, в котором первоначально находилась Луна, [дуга смещения] равна тридцати градусам. Проведем СВ, опустим из точки В на диаметр перпендикуляр ВН, который известен; поэтому ЕН известна; поэтому GH и ВН известны, следовательно, их гипотенуза GB известна.

Пусть Луна на этом рисунке находится в С; [ее расстояние] от перигея известно; опустим перпендикуляр CF, определим EF, следовательно, линия GF известна. Поэтому GC известна независимо от того, где был   центр   эпицикла — в апогее или в перигее. Если же он находится между ними, то пусть ABC — эксцентр с центром Ε [рис. 101], G — центр Земли, А — апогей, С — перигей   [эксцентра]; центр эпицикла находится в точке В; продолжим GB до D и [опустим к ней] перпендикуляр ЕH; проведем ЕВ и ED; пусть [каждый из] углов AGB и DGC шестьдесят градусов, когда круг содержит четыре прямых. Если центр Луны в В, то расстояние между двумя светилами тридцать градусов, потому что оно равно половине расстояния от апогея; если же он в D, то расстояние — сто двадцать градусов.

Поскольку соединяющая сторона EG и угол AGB известны, Η — прямой, то НЕ известна; также Е, ЕВ [известны] ; угол Η — прямой, поэтому НВ и, следовательно, вся GB известна. Поскольку прямой угол Η известен, стороны ЕН и ED известны; через GH известна GD. Поскольку одно из двух расстояний эпицикла GC и второе из данных расстояний GA, а также BG и BD [известны], то на первом и на этом рисунке определяется то расстояние, когда она отклонена от первых упомянутых расстояний. Таким образом, он находит все расстояния Луны в любом положении.

Он составил шестой столбец, где поместил полученные избытки первого расстояния над последовательными расстояниями, получающимися при смещении Луны от апогея эпицикла, при [нахождении] эпицикла в апогее деферента; они взяты по отношению к наибольшему избытку, то есть к диаметру эпицикла и к избытку наибольшего расстояния при наибольшем смещении, [и выясняются] отношения этого избытка к диаметру эпицикла, принятого за шестьдесят. При этом он вычислял, что диаметр эпицикла — 10;30; полудиаметр эксцентра—49;41 и среднее расстояние — 60.

Седьмой столбец для [пропорциональных] минут, на которые он поправляет то, что в четвертом столбце, 90 и прибавляет его к третьему [столбцу]. Затем, применяя тот же способ, он составил восьмой столбец для этих же [значений], когда центр эпицикла [находится]   в перигее.  Числа    аргумента представляют градусы смещения относительно [перигея] по аномалии. Так как их сто восемьдесят градусов, то они не могут быть исчерпаны [числом] девяносто или сорок пять, то есть числом строк для градусов. Поэтому он взял два градуса вместо каждого градуса, и ставил все, что вычислял, против половины градусов, для которых он вычислял. Например, он [нашел], что диаметр эпицикла 16, а расстояние центра эпицикла от центра эклиптики шестьдесят. Этот восьмой столбец содержит [пропорциональные] минуты, на которые он поправляет то, что в шестом столбце, и прибавляет его к пятому [столбцу]. Если он получает избыток первого расстояния над расстоянием, найденным при смещении на шестьдесят градусов, то он записывает его против тридцати. Он составил девятый столбец, в который поместил величину избытка первого расстояния над расстояниями, которые получаются при смещении центра эпицикла. Он взял эти избытки и их отношения к наибольшему избытку, являющемуся разностью между тем, [что получается], когда центр [эпицикла] находится в апогее, и тем, [что получается] , когда он находится в перигее; величина этой разности 20;38, а расстояние центра эпицикла от центра Земли шестьдесят. Этот девятый столбец содержит [пропорциональные] минуты, которыми поправляют разность между тем, что в третьем столбце, и тем, что в пятом столбце, и которые прибавляются также к третьему. Так как это смещение образует угол у центра Земли, являющийся удвоенным расстоянием между двумя светилами, то отношение чисел в строках [аргумента] к этим избыткам есть отношение для удвоенного расстояния между двумя светилами. Если удвоенное расстояние превышает градусы [целого] оборота, то он удваивает остаток. Так как его изложение здесь подобно его изложению для первого смещения и каждый градус он принимает за два градуса, то принятое место удвоенного расстояния будет помещено не против удвоенного расстояния. Птолемей показал, что если смещение Луны или центра эпицикла приводит к известным расстояниям, то оставшееся расстояние после отбрасывания того, что остается до полного оборота до апогея, также будет известно и равно первому [смещению].

Об уравнении параллакса и подробностях этого

Он сказал: если мы хотим определить величины параллакса, мы должны рассмотреть [прямые] часы между меридианом и [положением] светила. Это дуга из параллельных кругов между ними, которая была определена. Потребуем угол этой дуги из таблицы углов для заданного климата и [двенадцатой части] Зодиака согласно тому, что приведено в предыдущих книгах.

Мы находим соответствующую дугу этого угла из [второго] столбца. Это будет дуга между зенитом и светилом, то есть дополнение его высоты. Вносим это в строки аргумента, и если это [светило] будет [не] Солнце, то мы возьмем то, что против этого в столбцах, [соответствующих] четырем случаям, каждого в отдельности. Затем по той же указанной причине мы разделим пополам [число] градусов по исправленной аномалии от истинного апогея; если они меньше 180, то мы их используем [непосредственно], а если больше, то возьмем половину избытка трехсот шестидесяти над этим числом. Если это уже сделано, то мы возьмем значение, что против этого, в восьмом и в седьмом столбцах; [число] в седьмом для уравнения того, что в третьем, берем [от разности], найденной нами в четвертом столбце, прибавляя это к [числу] в третьем столбце. [Число] в восьмом для уравнения [того, что] в пятом, берем [от разности] в [шестом] и прибавляем это к [числу] в пятом [столбце]. Затем мы вносим меньшее [число] градусов из расстояний между двумя светилами или между Луной и 91 установленной [точкой], [диаметрально] противоположной Солнцу, в строки аргумента. Далее мы посмотрим на это расстояние; если оно меньше 90, то возьмем само это число или избыток 180 над ним. Если же оно больше 180 и меньше 270, то возьмем его избыток над 180. Возьмем также то, что против него в девятом столбце; находим разность между параллаксами в третьем и пятом столбцах, исправленными теми, что в седьмом и восьмом столбцах; умножим ее на то, что получилось в девятом, и разделим на 60; прибавим полученное к меньшему из этих исправленных [параллаксов]. То, что получится, и будет [окончательно] исправленный параллакс по кругу высоты.

Однако при этом Луна   [считалась] находящейся на самой эклиптике и не имеющей широты; поэтому данные [здесь] углы вместе с их [прямыми] часами и дугами соответствуют градусам эклиптики. Если принять, что Луна [не] имеет широту, то это только условно, поскольку мы хотим показать [ее] параллакс как по долготе, так и по широте. Что касается способа его осуществления, то я покажу его с помощью рисунка, чтобы легко было его представить.

Пусть ABCD — круг горизонта, AJN — дуга меридиана, точка  I — северный зенит [рис. 102], дуга CGE — половина эклиптики, G — градус Луны северной эклиптики, Μ — полюс эклиптики. Из точки Μ проведем дугу до G и далее до F, которая представляет истинное место Луны в своей широте. Дуга ЕКВ — дуга высоты. Известно, что она проходит через истинное и видимое места Луны. Поскольку через центр Луны проходят линии из центра эклиптики, а также [из] зенита, то их пересечение есть центр Луны. [Центр Луны] и центр эпицикла примыкают к одной и той же точке по долготе и широте; поэтому линия [из] зенита проходит через оба положения [Луны].

Пусть точка К — ее видимое место; тогда дуга FK будет ее полным склонением ; оно   южнее,   так   как F ближе к зениту, чем К, а К находится   к   югу. Проведем из полюса эклиптики к [точке] К, являющейся ее видимым местом, дугу МНК, которая пересекает    эклиптику в Η. Η ближе к востоку, чем G, и она была бы ее местом в эклиптике, если бы  Луна действительно находилась в К. Но это — видимость. Поэтому Η — видимое место Луны    в эклиптике,  а  GH — параллакс Луны, по   долготе,   к востоку,   по    направлению  последовательности знаков Зодиака, так    как К дальше от горизонта, чем место пересечения, то есть дальше, чем G. Поскольку точка N — место пересечения между зенитной и эклиптической    [линиями], то НК длиннее FG; поэтому    видимая широта больше    [истинной].   Возьмем HL, равную GF, тогда LK будет   разницей между истинной и видимой широтами, которая является параллаксом по широте. Поскольку дуги МН и MG равны, то MF и ML равны 92;  а также FL в действительности короче GH. Однако иногда можно считать эти дуги прямыми линиями, так как в этом месте они маленькие. Если сделать    их прямыми линиями, а углы G и Η — прямые,  то FL условно параллельна и равна GH¹⁵⁸. Поскольку здесь нет  большой  погрешности, то FL будет приблизительно равной параллаксу по долготе, то есть GH. Тогда все три стороны треугольника FKL являются параллаксами; FK — полный параллакс, FL — долготный  и KL — широтный. Так как    угол    FGN прямой, угол   FNG — острый  и   угол INC — тупой, который раскрывается    в направлении по последовательности знаков Зодиака, поэтому северный    зенитный угол тупой.

Мы можем рассуждать в обратном порядке и говорить: если северный зенитный угол тупой, то прямой угол и его смещение восточные. Если Η расположится ближе к Ν, чем G [рис. 103], тогда [смещение] западное; К расположится между N и F, поэтому смещение при северном зените будет к северу. Это невозможно, потому что смещение должно быть удалением, а не приближением.

Представим это на другом рисунке [рис. 104], где зенит северный, а Луна имеет юго-западную широту. Определим смещения, соответствующие этому [положению]. Представим себе, что полное [смещение] к югу, как было раньше, а долготное — к западу. Найдем, что северо-восточный угол острый, поскольку соответствующий ему после прямого угла [тоже] острый. Их соседний северный [угол], который в стороне горизонта,— тупой, как это было на первом рисунке. Если ты сделаешь зенит, то есть I, южной точкой, то смещение окажется северным и все обстоятельство с углами будет наоборот.

Из этого выясняется, что видимая долгота может быть на стороне истинной долготы, тогда первая больше второй; или она может быть не на ее стороне, тогда меньше не достает ее. Точно так же и относительно широты. Если эклиптика находится между зенитом и светилом, то видимая широта будет на противоположной стороне и больше истинной широты. Если же эклиптика не находится на стороне зенита [от светила], то параллакс по широте может быть вычитаемым.

Пример этого. Пусть ABCD — круг горизонта,  AGK — меридиан,  CGE — эклиптика, СНЕ — наклонный круг, I — зенит, F — истинное положение Луны, BEI — круг высоты, I — видимое положение Луны KFMX и KIL — дуги из [круга] широты. Ты знаешь, что FI — полный   параллакс,  X — градус [места] светила, XF — его истинная широта, NI — его широта по видимости, MF — вычитаемый параллакс по широте, 93 изображение которого может быть такое маленькое, что [кажется], что здесь вообще отсутствует параллакс по широте. Это бывает тогда, когда и зенит, и Луна находятся на круге эклиптики.

Пример этого. [Пусть] ABCD — горизонт [рис. 105], ЛЕС — меридиан, Ε — зенит, I — истинное место    Луны, G — ее видимое место, дуга IG — ее полное смещение, это и есть сам [параллакс] по долготе; она не отходит от эклиптики и, следовательно, не имеет видимого, истинного [параллакса] по широте.

Изображение этого смещения может быть очень маленькое и [кажется [, что совсем отсутствует параллакс как по долготе, так и по широте. Это бывает, если Луна находится в девяноста [градусах] от горизонта. Ты знаешь, что она не всегда находится в девяноста [градусах] на меридиане; она может быть смещена. Она бывает на меридиане тогда, когда круг через четыре полюса совпадает с меридианом.

Птолемей допускал многочисленные положения; он рассмотрел состояние Луны, когда она на меридиане, и нашел, что она не имеет существенного параллакса по долготе. Действительно, дело обстоит так, как он говорил, если Луна в упомянутом положении. Приведем рисунок для случая смещения.

Пусть ABCD— горизонт [рис. 106], CLE — эклиптика, IL — меридиан, L — середина неба на [градусах] эклиптики от начала Козерога и до конца Близнецов; дуга между точкой L и точкой восхода С больше    девяноста     [градусов] ; точка М, то есть полюс круга эклиптики, находится на стороне запада, F — градус светила, когда оно находится [непосредственно] в этой точке или в К. Пусть I — зенит, BFI — высота, IF или IK — дополнение видимой высоты. BF разделит дугу СЕ пополам. FK или КМ — смещение, поскольку рассуждение для обоих одно и то же. Если [Луна] опишет [круг] через полюса круга ABCD и [полюса] эклиптики, то эти два круга будут разделены на квадранты, описанный круг пройдет через F, совпадет с кругом высоты и приведет к параллаксу по широте на [величину] дуги KF или КМ. Это одновременно параллакс по высоте и по широте. Дуга IF называется широтой климата видимости. В этом положении видимость по зениту вертикальна. Таков способ определения обстоятельства параллакса.

Если полное смещение уже определено, а его угол, который оно стягивает, прямой, то легко рассчитать смещения [по долготе и по широте], так как эти линии прямые и образуют прямоугольник с известными углами и сторонами. Поэтому если это смещение известно и угол при одном его конце известен и оно стягивает прямой [угол], то все углы и отношения их сторон также  [известны].

Из рисунков ясно, что если зенит северный, то параллакс южный, а если он 94 южный, то параллакс северный. Если наклонный круг находится между зенитом и эклиптикой, то смещение по широте недостаточно относительно истинного [положения]; если же эклиптика находится на середине, то смещение по широте избыточно. Что касается долготы, то если зенитный северо-восточный угол тупой, то смещение по долготе к востоку; если же он острый, то — к западу. Смещение со стороны юга происходит в направлении, противоположном знакам Зодиака: если со стороны севера, то наоборот. Если угол прямой, то смещения по долготе не наблюдается.

Когда Птолемей показал все это, он отметил, что рассуждения его предшественников о параллаксах по высоте не точные, а приближенные, но это и то, что он не принимает во внимание параллакса Солнца, не мешает в [нахождении] промежутков времени затмений¹⁵⁹.

Их рассуждения приближенные, а не точные потому, что вместо дуги высоты Луны, когда она на круге [горизонта] Земли, они использовали другую дугу, являющуюся дополнением градусов ее высоты по долготе, так что Гиппарх привел следующий рисунок, на котором различал параллаксы по долготе и по широте. ABC — эклиптика;   AD — [дуга] наклонного круга [рис. 107], А — узел, а Луна в известной точке D; DB — дуга известной широты, перпендикулярная к ABC; тогда В — положение Луны по долготе будет известным, а DB — ее истинная широта. Пусть Ε — зенит; проведем дугу ЕВ от нее до В и Другую, проходящую через [точку] наклонного круга и через Луну; это есть EDG. Пусть DH будет параллакс по вы соте, DF — [параллакс] по широте и HF, то есть KB,— [параллакс] по долготе. Если дуга EDG, то есть истинное расстояние, известна, то дуга DH, то есть ее смещение, будет известно. Как было упомянуто выше, известной будет дуга от зенита до известной точки на эклиптике, а не на наклонном круге и не на чем-нибудь другом. Если угол EGC с эклиптикой известен, то будет достигнуто определение искомых смещений по долготе и по широте из определения DH, если ее можно определить, и определения угла FHD, равного углу EGC, поскольку FH параллельна АС, и из определения угла DFH, поскольку он равен прямому углу DBA. Отсюда отношения треугольника FH известны. Однако известны ЕВ, а не GDE, и угол ЕВС, а не угол EGC. Гиппарх принимает дугу ED за данную; он делает так, чтобы дуга EG была данной и угол EDH был известным и ED была данной; отсюда ED дана. Доказательство Птолемея ограничено для одного расстояния, например, для расстояния AD. Он сказал: однако мы утверждаем, что если центр Луны находится на меридиане к северу или к югу, то смещение по высоте почти совпадает с меридианом. Тогда, как тебе уже известно, смещение по высоте и по широте будет одно и то же, как было отмечено раньше.

Пример этого. ABC — [дуга] эклиптики [рис. 108], а линия DBE перпендикулярна к ней; В — зенит. Пусть Луна находится в D или в Ε; тогда его широта относительно эклиптики будет DB или BE, и 95 дуги и углы в заданной точке В будут известными, а искомыми будут дуги и углы при заданной и известной точке D или Е. Если мы сделаем точку D, отличную от точки В, зенитом и эклиптику перпендикулярной к горизонту, то дуга от G до В совпадет с градусами Луны, которые идут от В до D или до Е; на этом рисунке они представляют восточное и западное смещения; это тоже известно. Тогда не будет параллактического смещения ни по широте, ни по долготе, ни избыточного, ни недостаточного. Разность в этом будет разностью между ЕВ и GD или между GB и GE; это и есть параллактическое смещение; углы между этими линиями будут только прямыми, и определение здесь легкое.

Если же зенит находится на эклиптике, а Луна вне ее имеет широту, как на этом рисунке [рис. 109], где зенит, например, в А и D или Ε — положение светила,  В — его  градус,  тогда  дуги АВ и AD будут отличаться, как и дуги АВ и АЕ и при D и Ε образуются углы, отличные от углов при В, и AD, и АЕ будут известными, если они будут заменять их хорды, поскольку различие между ними небольшое. Они будут известными, потому что АВ и BD или АВ и BE известны, и угол [В] прямой, отсюда AD, то есть истинное расстояние от зенита, известно. Из этих известных [величин] определяется его смещение. Что касается того, если оба зенита и положение Луны смещены от эклиптики, то это можно определить, если сначала провести дугу южной или северной высоты, а затем найти    параллактическое смещение.

Пусть ABF — эклиптика [рис. 110], Ε — место Луны на северном наклонном круге, a. D — на южном; они известны ; ЕВ и BD — дуги широты, стоящие под прямыми углами к ABF при В; G — зенит, GEF — дуга высоты, пересекающаяся с эклиптикой в F, DG — дуга высоты, пересекающаяся с эклиптикой в Н. Мы хотим определить GE и GD, Проведем дугу высоты GBK. Известно, что она образует при В известный угол; опустим перпендикуляры EL и DK на GB. Поскольку угол GBA известен, то остаток от прямого угла LBE известен; точно так же DBK известен; углы L и K прямые; ЕВ и BD известны. Поэтому треугольники BEL и BKD известны, так как их стороны и углы по отношению к равным между собой [сторонам] ЕВ и ВА, отсюда оставшаяся GL известна. L — прямой угол, поэтому гипотенуза GE известна. Точно так же угол В известен; угол К — прямой, 96 BD известна, поэтому ВК и KD известны ; вся GBK и KD известны; К — прямой, поэтому GD известна; также два угла при G известны, отсюда северо-восточные углы F и H треугольников GEL н GKD известны.  Поскольку  угол  F меньше известного зенитного угла В на известный угол FGB, то угол Η больше того же угла В на известный угол DGB. Мы уже определили GE и GD, отсюда определяем их смещение по высоте; мы определили и углы Η и F, образованные эклиптикой и дугами высоты, и нам не нужно определять другие углы вместо них, а достаточно для нас найти углы треугольника смещений.

Он сказал: таким образом, выяснилось, что наибольшая разность в этих углах, разности между которыми мы уже определили, имеет место, когда B является зенитом; тогда при В не образуется тот угол, который был образован с дугой от зенита, и дуги между G и D или Ε образуют прямые углы при В, так как [дуги], соединяющие Ε с В и D с В, находятся на эксцентре и тогда разность будет прямым углом; это такого же рода разность, как разность между существованием и исчезновением.

Точно так же наибольшая разность между этими дугами в этом случае никогда не дает дугу высоты, если Луна находится в В. Если же он в Ε или D, то дуга от зенита до Луны приблизительно равна широте, то есть равна ей с небольшим параллактическим смещением, получающимся вследствие этого расстояния от зенита, поскольку оно одно и то же с обеих сторон, как было определено. Если положение эклиптики таково, что круг через зенит перпендикулярен к эклиптике, тогда разница между дугой AD или АЕ и дугой АВ будет дугой смещения по широте; если же зенит и Луна находятся на эклиптике, как изображено на этом рисунке [рис. 111], тогда дуга от зенита, то есть AD или АЕ, больше АВ, но меньше DB и ЕВ, так как сумма двух сторон [треугольника] больше третьей и угол В больше, чем угол D или угол Ε на угол А, так как углы А и Ε [вместе] равны прямому [углу] и поэтому разность меньше прямого [угла]. Если предполагается смещение зенита и Луны [от эклиптики], как было показано на рисунке, где G была зенитом и где требовались всякие другие вещи, то GB длиннее GE, но меньше широты ЕВ, так как угол FBE прямой и поэтому угол BEF острый, а угол GЕВ тупой;  отсюда GB длиннее [GE], но меньше ЕВ, так как сумма двух сторон меньше третьей.

Что касается дуги, то она длиннее GB, так как GBD больше прямого угла, поскольку он является внешним углом треугольника с прямым углом в К. [Поэтому] GD длиннее [GB], но меньше BD. Что касается углов, то, как было найдено, два угла в В больше двух углов — F и Η на два угла D [и Ε соответственно] и каждый из последних меньше прямого угла.

Птолемей показывает способ вычисления на основе этого правильного метода нахождения параллакса, по которому берет дополнение дуги высоты    истинного градуса, например BG 97 на этом рисунке и величину угла ABG, который равен углу LEB, так как внешний угол DBG равен  [сумме] двух  углов — L и Е, а их сумма составляет два прямых [угла];  чтобы получить    центральный угол, удваиваем    его,    находим    соответствующую этому углу   дуговую  величину. Таким образом, получается дуга. Далее берем   хорду  этой дуги,   это LB, затем  берем  хорду — дополнение этой дуги до полукруга — EL;   определим отношение одной  [хорды]    к другой и к ЕВ, взятой за диаметр, равный ста двадцати частям;    умножим [каждое из этих чисел] на число гипотенузы ЕВ, являющейся широтой, то есть на [число] широты ЕВ, а не на число диаметра ЕВ, например, на пять градусов, а не на сто двадцать; число широты ЕВ известно. Разделим полученное на сто двадцать, тогда определится, сколько в каждой из этих двух дуг таких единиц, какие в числе широты ЕВ.

Точно так же определим стороны треугольника BKD, которые равны [соответствующим] сторонам треугольника BLE; не требуется новых вычислений, так как BE равна BD, BL равна ВК, две остальные стороны тоже равны. Если Луна находится в Е, отними число LB от [числа] GB, а если Луна находится в D, то прибавь. Таким образом, будут известны в первом [случае] дуга GL, во втором — дуга GK, если отнял, то возьми [сумму] квадратов GL и EL, [измеряемых] такими единицами, какие в числе широты ЕВ¹⁶⁰; возьми корень этого [числа] и получится Е. Перед этим ты должен умножить GL на [число] широты и разделить полученное на сто двадцать. Итак получается GE. Точно так же, если Луна находится в D, то умножим число DK на себя, то есть EL на себя, [измеряемую] частями широты, и умножим KG на себя,  [измеряемую] теми же частями; найдем корень из их [суммы] и получим GD.

Из всего этого вытекает, что ты удваиваешь маленький угол, находишь его дугу; берешь ее хорду и хорду дополняющей [дуги] до ста двадцати [градусов] и запоминаешь, что получается. Если зенит и широта [Луны] находятся на одной стороне [от эклиптики], то отнимешь то, что получается для первого угла, от дуги дополнения высоты градуса долготы; если же они противоположные, то прибавляешь. Берешь квадрат суммы или разности вместе с квадратом хорды запоминаемого другого угла и находишь корень из этого, получается [дуга] дополнения высоты Луны.

Пятая книга окончена, слава Аллаху и [помощь] от него.

Комментарии

145.  Пятая книга «Альмагеста» содержит следующие главы:

Об устройстве астролябии.

О гипотезе для объяснения двойного неравенства Луны.

О величине неравенства Луны, зависящего от положения относительно Солнца.

О величине отношения для эксцентритета лунной орбиты.

О наклонности  лунного эпицикла.

О том, как геометрически по периодическим движениям определяется истинное положение Луны.

Составление таблицы для полного неравенства Луны.

Таблица полного лунного неравенства.

О вычислении полного движения Луны в целом.

О том, что эксцентрический круг Луны не производит в сизигиях никакой существенной разницы.

О параллаксах Луны.

Об устройстве параллактического инструмента.

Определение расстояния Луны.

О величинах видимых диаметров Солнца, Луны и земной тени в сизигиях.

О расстоянии Солнца и о том, что определяется вместе с ним.

О величинах Солнца, Луны и Земли.

О частных значениях параллаксов Солнца и Луны.

Таблица параллаксов.

Об определении параллаксов.

146.  Описанный здесь инструмент — «Армиллярная сфера», арабские астрономы его называли «зат альхалак», дословно «обладающее кольцами» (по латыни armilla — «кольцо»).

147.  Таким образом, для определения двух сферических координат светила достаточно измерить одну из них, а вторая координата определится поворотом армиллярной сферы, необходимым для совмещения светила с его символом на круге, изображающем эклиптику, или кругом широты, проходящим через светило.

148. Эти объяснения аль-Фараби более подробны, чем соответствующие рассуждения Птолемея, поэтому для сравнения необходимо привести это место из «Альмагеста»: «Так как теперь при помощи этого прибора указанные наблюдения становятся простыми, то    оказалось, что расстояние Луны от    Солнца как по записям Гиппарха, так и по нашим собственным наблюдениям иногда были одинаково вычисленными по изложенной выше гипотезе, иногда    же неодинаковыми и отличались то меньше, то больше. Когда же мы больше стали размышлять о характере этого неравенства, то заметили, что во время новолуний или полнолуний оно или очень мало или совершенно не дает никакой заметной погрешности, отличной от той, которую могли бы произвести лунные параллаксы, в обоих же положениях    Луны, разделенной пополам, разница    бывает наименьшей  или даже совершенно   отсутствует, если    Луна    оказывается    в апогее или в перигее эпицикла, и наибольшей, если она бывает в промежуточных положениях, тогда получается самая большая разница по сравнению с первым неравенством. Если первое неравенство приходится вычитать, то в каждой из четвертей положение Луны определяется числом, меньшим того, которое получается после вычитания первого неравенства, если же его надо прибавлять, то большим, возрастая пропорционально величине первого простафереза. Таким образом, указанные особенности позволили нам заключить, что лунный эпицикл следует предположить движущимся по эксцентрическому кругу, причем он становится более удаленным от Земли в новолуниях и полнолуниях и более близким в обоих положениях Луны, разделенной пополам; все будет происходить, если мы добавим к первой гипотезе такое исправление.

Вообразим в плоскости лунной орбиты круг, концентрический с проходящим через середины знаков вследствие отсутствия широты, как мы упомянули выше, и движущийся против последовательности вокруг полюсов круга через середины знаков, перемещаясь на столько, на сколько движение по широте опережает движение по долготе, а Луна обращается по так называемому эпициклу, двигаясь против последовательности знаков на дуге, прилежащей к апогею эпицикла соответственно восстановлению первой аномалии. В этой наклонной плоскости мы предполагаем два равномерных движения по направлению противоположных друг другу, совершающихся оба вокруг центра круга через середины знаков, причем одно из них увлекает центр эпицикла в направлении последовательности знаков Зодиака в соответствии с движением по широте, а другое перемещает центр и апогей находящегося в той же плоскости эксцентра, на котором всегда находится центр эпицикла. Это движение совершается против последовательности знаков, причем величина его будет равна разности, которая получится, если мы вычтем широту из удвоенной элонгации, т. е. разности среднего лунного положения по долготе по сравнению с солнечным. Например, если в один день центр эпицикла в своем движении пройдет приблизительно 13;14 градусов в направлении знаков, то на круге через середины знаков он покажется передвинувшимся на 13;11 градусов долготы вследствие того, что весь косой круг отступит против последовательности знаков на величину разности в три шестидесятых; но апогей эксцентра, в свою очередь, отступит против последовательности знаков на 11;9 градусов, на которые удвоенные градусы элонгации, а именно 24;23, превышают 13;14 градусов аргумента широты. Таким образом, вследствие противоположности обоих этих движений, совершающихся, как мы сказали, вокруг центра круга через середины знаков, движение центра эпицикла будет отличаться от движения центра эксцент-ра на дугу, получающуюся после сложения 13;14 и 11;9 градусов, что приблизительно в два раза больше 12;11,30 градусов элонгации. Вследствие этого в течение среднего месяца эпицикл два раза обернется по эксцентру, причем возвращение к апогею эксцентра предполагается совершающимся в средних теоретических новолуниях и полнолуниях.

Чтобы сделать это предположение более наглядным, вообразим опять в наклонной плоскости лунной орбиты круг, концентрический с проходящим через середины знаков; пусть его центр будет Е...»

149. Таким образом, в этой главе аль-Фараби, следуя за Птолемеем, предполагает, что получившийся эксцентрический круг не остается неподвижным, а совершает в течение месяца один оборот по часовой стрелке вокруг Земли по отношению к линии, соединяющей центр Земли с Солнцем; следовательно, прямая СЕА всегда будет биссектрисой угла между линиями, направленными к центрам эксцентрического круга и эпицикла.

В изображенном на нашем рисунке (прим. 134) положении Луна, находящаяся в неподвижной точке Μ на эпицикле, будет в новолунии и в апогее эксцентрического круга. Если центр F последнего сделает четверть оборота и окажется на линии Ε справа от Е, то центр эпицикла А будет на той же линии слева от Е, а Луна, находящаяся в точке Μ эпицикла, совершающего поступательное круговое движение, будет в квадратуре и в перигее эксцентра. Еще через четверть оборота точка F и центр эпицикла А окажутся на прямой ЕС, обе ниже точки Ε; центр эпицикла А будет опять в наибольшем расстоянии, а Луна, находящаяся на линии ЕС, будет в апогее и в полнолунии. Таким образом, описанный механизм приводит к тому, что полнолуние и новолуние совершаются в апогее эксцентра, а квадратуры — в его перигее [9, стр. 559, 600].

150.    Тригональный аспект — см. прим. 133.

151.  Способ нахождения этого так называемого первого неравенства обосновывается с помощью следующей гипотезы Птолемея. Пусть Ε — центр мира, АС —эклиптика [рис. 124]. Вокруг Ε по кругу ΖΖ'Ζ"Ζ"' движется центр деферента лунного эпицикла (таким  образом,  непрерывно изменяющий  свое положение).

По окружности этого деферента (не показанной на чертеже) движется центр эпицикла Луны, а по эпициклу — сама Луна в направлении, противоположном движению центра эпицикла. Все три вращения происходят в плоскости орбиты Луны, наклоненной к эклиптике на 5°. При соединениях и противостояниях Солнца и Луны центр эпицикла Луны совпадает с апогеем Солнца (точки А и С), а Луна лежит в апогее своего эпицикла, причем центр деферента для Луны находится в точках Ζ и Ζ". Когда центр эпицикла попадает в точки В и D, центр деферента находится, соответственно,  в точках Ζ' и Ζ'". Точки В и D соответствуют четверти оборота Луны   за время одного оборота    (синодический    месяц, равный 29,5 суткам),   центр   эпицикла Луны дважды будет в апогее (в точках А и С) и дважды в перигее (в точках В и D). Каждой точке Z, W, Z' круга,  по которому движется    центр    деферента, соответствует симметричная    ей   точка Z", W, Z'", от положения которой зависит на соответствующем эпицикле положение его среднего    апогея    (точки М, Μ', Μ"). Истинные апогеи эпициклов — точки Μ, Ν, М" — на продолжении прямых, соединяющих центр мира с центрами эпициклов. Средний и истинный апогеи совпадают в точках апогея и перигея центра эпицикла. В остальных точках деферента они отстоят друг от друга на некоторую   дугу   ΝΜ,   называемую первым уравнением или неравенством. Поэтому ясно, что апогей Луны совершает один оборот по зодиакальной орбите в месяц,   если   из   этого   движения вычесть   движение    Солнца,    так    как они движутся в противоположные стороны.

Первое неравенство — дуга разности или угловое расстояние между средним и истинным апогеями на эпицикле.

Пусть ABCD — эксцентричная орбита Луны с центром Ε в некоторый момент времени [рис. 125], G — центр мира, С — центр лунного эпицикла, H — положение Луны на эпицикле, F — точка, симметричная для центра эксцентричной орбиты Луны, ВС — среднее расстояние между Солнцем и Луной (пусть      ВС=АВ).

Тогда   угол EBG = угол AEB — угол AGB= λ'_L—λ_S =Θ (уравнение Солнца), угол AGC = 2(λ'_L—λ_S)— двойная элонгация Луны, К — истинный апогей Луны в эпицикле, Μ — средний апогей, лежащий на линии FM, дуга МОН — средняя аномалия Луны (МР + +РН), дуга КОН=КО + ОН — истинная аномалия, где РН и ОН, соответственно,— избытки средней и истинной аномалии над половиной оборота: РН=МРН—180°, ОН=КОН—180°. Дуга КМ, равная углу GCF,— первое неравенство Луны, КМ—РН=РО. При этом эксцентриситет EG орбиты, т. е. расстояние между центрами, равен GF.

152.   Здесь аль-Фараби, следуя Птолемею, приводит правило вычисления эфемериды Луны по таблицам.

153.   Пропорциональные минуты — см. прим. 34.

154.  Эта таблица приведена нами в приложениях (таблица 9).

155.  Инструмент с двумя   ответвлениями — буквально «Зат ашшубатайн» — триквет, параллактический инструмент, состоящий из трех линеек.

156.  Здесь аль-Фараби доказывает теорему о том, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований, на которую Птолемей ссылается, считая ее известной; в «Началах» Евклида эта теорема отсутствует.

157.  Эта таблица приведена нами в приложениях (таблица 10).

158.  Птолемей при вычислении параллакса Луны по долготе и широте относительно эклиптики принимает их как отношение хорд, стягивающих эти хорды, так как, по его мнению, эти дуги «не очень отличаются от прямых».

Развивая эту ценную идею, аль-Фараби считает целесообразным при надобности заменить малые дуги с прямыми линиями. Далее он рассматривает параллактический треугольник с малыми сторонами. Такой способ замены впоследствии был положен в основу дифференциального и интегрального исчисления.

159.  Считая рассуждения Птолемея в этом месте не очень обстоятельными, аль-Фараби дает им подробные объяснения с помощью рисунков, отсутствующих     у     Птолемея.    Для    сравнения приводим начало этой главы из «Альмагеста», которая называется «Об определении параллаксов»:

«Теперь, если мы хотим определить величину параллактического смещения Луны для любого ее положения и прежде всего того, которое получается на большом круге, проведенном через нее и полюс горизонта, мы должны рассмотреть, на сколько равноденственных часов в заданном климате она отстоит от полуденного круга; найденную величину мы вносим в таблицу углов для соответствующих климата и двенадцатой части Зодиака; во втором столбце таблицы мы найдем соответствующее этому часу число градусов, или полное, или же с добавкой, приходящейся на часть часа; это число, представляющее расстояние Луны от полюса горизонта по тому же проведенному через нее большому кругу, мы вносим в таблицу параллаксов и смотрим, в какую строчку первого столбца оно попадает, а также пишем соответствующие этому числу величины, находящиеся в следующих за солнечным параллаксом четырьмя столбцами, то есть в третьем, четвертом, пятом и шестом, каждую отдельно. После этого, определив для этого часа величину аномалии по отношению к истинному апогею  или   непосредственно, или, если она превышает 180 градусов, ее дополнение до 360 градусов, и взяв всегда только половину    определенных таким образом градусов для внесения в числа первого столбца, смотрим, сколько шестидесятых в отдельности соответствует этому числу в 7-ом и 8-ом столбцах; стоящее в 7-ом столбце число шестидесятых долей берем от разности, стоящей в четвертом столбце, и всегда прибавляем к значению параллаксов в третьем столбце;  сколько же шестидесятых стоит в 8-ом столбце, столько мы берем от разности в шестом столбце  и все это опять всегда прибавляем к параллаксу из 5-го столбца; для полученных таким образом двух  параллаксов мы образуем разность; затем берем расстояние Луны в среднем движении или от Солнца, или  от диаметрально  ему противоположной точки, выбирая   всегда меньшее из обоих этих расстояний, и вносим его в числа  первого  столбца; опять сколько шестидесятых соответствует ему в 9-ом и последнем    столбце, столько мы берем от найденной разности параллаксов и  полученную  величину всегда прибавляем к меньшей, то есть к определенной из третьего и четвертого столбцов; полученная сумма   покажет нам параллактическое смещение Луны по тому же большому кругу, проведенному через нее и полюс горизонта; солнечный параллакс в подобном положении для солнечных затмений берется просто из соответствующих градусов второго столбца для величины дуги от полюса горизонта.

Чтобы определить параллакс Луны по отношению к кругу, проходящему через середины зодиакальных созвездий как по долготе, так и по широте, мы вносим в ту же самую часть таблицы углов число равноденственных часов, на которое Луна отстоит от полуденного круга, и смотрим соответствующие этому числу часов градусы; если Луна еще не дошла до полуденного круга, мы смотрим их в третьем столбце, если уже прошла, то в четвертом; если найденное число градусов будет менее 90, то мы пишем его, если же оно больше 90, то пишем его дополнение до 180°; такова будет величина наименьшего из углов при рассматриваемом сечении, выраженная в градусах, каких один прямой угол содержит 90. Удвоив записанное число градусов, вносим его в таблицу прямых в круге вместе с его дополнением до 180°; отношение прямой, стягивающей дугу с этим удвоенным числом градусов, к прямой, стягивающей дугу, представляющую дополнение до полуокружности, дает нам отношение параллакса по широте к параллаксу по долготе, так как соответствующие дуги этих кругов не очень отличаются от прямых. Помножив теперь числа, полученные для этих прямых, на найденную величину параллакса для большого круга, проходящего через полюс горизонта, и разделив полученные величины на 120, мы получим соответствующие параллаксы, равные найденным после деления числам.

Относительно параллаксов по широте мы можем вообще сказать, что если полюс горизонта на полуденном круге стоит севернее делящей небо пополам точки зодиакального круга, то параллакс будет смещать к югу; если же полюс горизонта будет ниже той, которая делит небо пополам, то параллакс по широте будет к северу; что же касается параллаксов по долготе, то, поскольку величины данных в таблице углов дают северный угол из тех двух, которые образует дуга Зодиака, идущая в направлении последовательности знаков, при параллаксе по широте к северу параллакс по долготе будет иметь направление против последовательности знаков, если рассматриваемый угол будет больше прямого и в направлении последовательности, если он меньше прямого; если же параллакс по широте будет к югу, то наоборот; при рассматриваемом угле, большем прямого, параллакс по долготе будет в направлении последовательности знаков, если же он меньше прямого, то против последовательности. Во всем изложенном выше мы считали, что Солнце не имеет никакого заметного параллакса, зная, впрочем, что учитываемый в дальнейшем его параллакс производит некоторую разницу. Однако мы считаем, что получаемая вследствие этого неточность в наблюдаемых явлениях не является настолько существенной, чтобы изменять что-нибудь в произведенных без ее учета вычислениях, которые мы вкратце изложили выше; подобно этому при определении параллаксов Луны мы довольствуемся углами и дугами, образованными у круга через середины знаков пересечения с большим кругом, проведенным через полюсы горизонта, тогда как следовало бы взять углы, получаемые у косого круга Луны. Мы делали так, поскольку получающаяся вследствие этого разница в сизигиях для затмений неощутима, а если изложить и это, то доказательства стали бы очень сложными, а вычисления трудными, ибо эти углы нельзя было бы определить для каждого положения Луны на Зодиаке или расстояния от узлов; они будут очень сильно изменяться как по величине, так и по положению» [3, стр. 324—326].

160. Из последних двух абзацев видно, что аль-Фараби на основе метода вычисления числовых значений параллаксов здесь также делает важное обобщение: он открыто вводит понятие «число линии в единицах» выбранного отрезка линии (в данном случае в единицах числа ЕВ). Применение к непрерывным величинам термина «единица» является дальнейшим развитием аль-Фараби арифметической терминологии, о которой мы говорили в примечании 24.