Аль-Фараби

КОММЕНТАРИИ  К "АЛЬМАГЕСТУ" ПТОЛЕМЕЯ

 * О том, что небо имеет сферическую форму и сферическое движение * О том, что Земля сферична по виду * О том, что Земля находится неподвижно в центре [мира] * О размерах Земли  относительно [небесной] сферы * О том, что Земля не имеет поступательного движения * Речь о том, что Вселенная имеет одно общее движение * Об определении хорд частей круга * Об определении склонения * Об определении синусов * О восхождении в прямой сфере * Примечания *

ПЕРВАЯ КНИГА⁶

Посвящена

О том, что небо имеет сферическую форму и сферическое движение

1 Подтверждением сферичности этого движения является восход и заход неподвижных звезд. Они действительно восходят на востоке, затем поднимаются вверх над нами до тех пор, пока не достигнут зенита⁹, затем начинают опускаться в сторону запада до тех пор, пока не достигнут горизонта, и исчезают. Затем они возвращаются точно к тем местам, где восходили. При этом моменты восхода и захода в общем одни и те же.

Далее, если мы направимся в сторону севера и юга, то окажется, что то, что было скрыто от нас, теперь совершенно не скрывается, а то, что не было скрыто, скрывается постоянно или на время. Если мы пойдем дальше, то увидим больше того, что было скрыто, а с другой стороны будет    наоборот.    Чем медленнее заходит какая-нибудь из этих звезд, тем больше ее дуга дня и тем быстрее зайдет [звезда], противоположная этой звезде, и тем меньше ее дуга дня. Каждый раз, когда появляется что-то из того, что было скрыто, исчезает противоположное ему из того,    что    было видно, и становится невидимым.    Если мы приблизимся к полюсу, к которому мы направлялись, и [будем наблюдать] все, что имеется там, то мы дойдем до места, где  [звезды]  или всегда видны, или всегда скрыты. Мы увидим, что   те [звезды], которые не скрываются, вращаются около полюса. Чем ближе [звезда] к [полюсу], тем уже   ее   орбита   и медленнее ее вращение в соответствии с узостью ее орбиты. Все звезды проходят свои круги за один и тот же [промежуток времени], эти круги   параллельны. Все это наблюдается при круговом движении. Полюсы этого    [движения] — в стороне нахождения    вечно    видимых звезд. Если бы это движение    не было таким, то все расстояния между звездами и их величины не было бы одинаковыми по   видимости    во    всех    частях Земли.

2 Причиной увеличения этих величин, которое мы наблюдаем при восходе и заходе, является влажный водяной пар, окружающий Землю и находящийся между [нашими] глазами и этими звездами. Все, находящееся за этой средой, кажется большим. По этой же причине предметы в воде кажутся большими, причем чем глубже, тем они больше.

Подтверждением правильности указанного положения    служит    несостоятельность   других   мнений:    например тех, кто считает, что звезды   движутся по прямой до бесконечности. Интересно знать, как они вернутся снова по прямой со стороны востока. Если же они возвращаются с той    [стороны],    куда уходят, почему же этого не видно? Почему же их размеры и расстояние между ними не уменьшаются, когда их расстояние от нас увеличивается, а остаются неизменными и кажутся больше при заходе? Мнение, состоящее в том, что [звезды] загораются и гаснут и что они загораются в одних местах, а гаснут в других, нелепо, так как оно приписывает благородным  [небесным] телам    несвойственные им качества и к тому лес предполагает, что одна и та же вещь то загорается, то гаснет в зависимости от места нахождения,   поскольку    звезды, видимые некоторым народам, скрыты от других. На это указывают    и наблюдения над затмениями Луны.

Наблюдением над затмением Луны установлено, что в некоторых странах это [затмение] произошло после ее восхода, в других — что она взошла затемненной, а в третьих, что [затмение произошло] до восхода [Луны] и она взошла уже ясной. Аналогичное наблюдение было произведено при заходе [Луны]. Почему же она должна загораться в одних местах и гаснуть в других? Почему звезды, которые постоянно видны у некоторых народов, всегда загораются у них, а у других гаснут?

Правильность нашего   мнения    подтверждает совпадение трех наблюдений, говорящих об одном   центре.   Эти   [наблюдения]    согласуются  с   формой,  то есть с тем, что небосвод сферичен. Очевидно, что эта форма наиболее подходящая для быстрого кругового движения. Она охватывает максимальный [объем] и наиболее удобна для самого большого тела. Поскольку небосвод — это простое тело с подобными частями, одна и та же природа не может сделать в   нем   угол или в одной его части создать кривизну, а в другой нет. Все его части    должны быть подобны по своей природе. Это может быть только на сфере. Только сфера может иметь сечения, подобные между собой.

Светила [также] заставляют наблюдателя убедиться в том, что сущность [небосвода] такова: светила сферичны, так как если бы они были плоскими или имели бы поверхности формы, отличной [от сферы], то они выглядели бы разными по форме на различном расстоянии от наблюдателей. Поэтому окружающий их небосвод имеет их форму.

Он сказал: среднее из этих доказательств — самое надежное.

О том, что Земля  сферична по виду

На сферичность Земли нам указывает опережение и запаздывание восхода восходящих и захода заходящих [звезд] у жителей стран, расположенных по долготе, а также видимость вечно видимых и невидимость вечно невидимых звезд у жителей стран, протяженных по широте. Все это происходит из-за сферичности [Земли]. Положение с долготой выясняется по лунным затмениям, а положение с широтой — по звездам двух полюсов.

3 Если бы Земля была вогнутой, то звезды сначала восходили бы на западе и запаздывали на востоке, а это не так. Установлено, что затмения Луны [происходили] на востоке в более поздние часы ночи, а на западе — в более ранние. Эта разница [во времени] получается благодаря сферичности Земли. Если бы она была плоской, то восход и заход происходили бы одновременно [для всех местностей], с некоторым отклонением в горных и возвышенных районах.

Если бы Земля была граненой с плоскими гранями, не позволяющими ей быть сферичной в целом по виду, то восход и заход происходили бы для одной грани в один и тот же час и значительно отличались бы для различных граней. Если же грани не очень влияют на сферичность в целом, то наблюдается запаздывание времени затмений и их опережение в местностях различной долготы с Востока на Запад благодаря сферичности Земли. Точно так же обстоит дело с восходами и заходами звезд; они не согласуются ни с [положением! одной плоскости, ни с [положением] многих плоскостей.

Земля не может иметь цилиндрической формы, при которой ее поверхность выпукла по долготе с востока на запад и имеет две плоские поверхности у полюсов. В этом случае восход и заход неподвижных звезд одновременно наблюдали  бы  все  люди,  живущие  у одного полюса, скрытые или видимые [звезды] были бы одними и теми же для них, и население круглой поверхности не могло бы видеть ничего из вечно видимых звезд.

Положение с запада на восток будет таким же, как с севера на юг, так что рассуждения должны быть одними и теми же для всех направлений.

Поверхность воды в море также сферична. Так, если мы будем плыть по морю, а на каком-то расстоянии от нас будет находиться гора, то первое, что будет видно с нее — это вершина, затем начнет появляться то, что ниже ее вершины и было скрыто до этого. Только горб воды мог скрывать его.

О том, что Земля находится неподвижно в центре [мира]

Он сказал: если Земля не находилась бы неподвижно в самой середине [мира], то она была бы расположена на равных расстояниях от обоих полюсов вне оси; или же она должна была бы находиться на оси и отклонена к одному из полюсов, пли же она должна была бы находиться вне оси и отклонена к одному из полюсов. Если бы имело место первое, у жителей экватора день и ночь никогда не были бы равны, так как плоскость горизонта в этом случае никогда не делила бы небесный свод пополам. Что касается другого климата, то этого равенства не будет, когда Солнце находится в поясе первого движения, то есть на небесном экваторе¹⁰, так как различные горизонты и эклиптики не делят [друг друга] пополам и равенство не будет иметь место в двух точках пересечения эклиптики¹¹ и небесного экватора, которые мы упомянем ниже; это произойдет на другом круге, параллельном небесному экватору к северу или к югу от него. Поэтому верхняя дуга каждого из параллельных кругов не будет равна нижней дуге противоположного ему [круга], имеющего такое же расстояние от небесного экватора. Поэтому день одной из этих дуг не будет равен ночи другой. Действительность противоречит этому. [В этом случае] в местностях, отклоненных к востоку или к западу [друг от друга], время между восходом и приходом в зенит не будет равно времени между приходом в зенит и заходом, и размеры и расстояния [светил] нельзя видеть одинаковыми во всех местах 4 .

Что касается второго случая, то, если бы он был, следовало бы, что   горизонт делит [небесную] сферу пополам только при прямой сфере, а в местностях, отклоненных к одному из двух полюсов, дуги будут различны: дуга, примыкающая к этому полюсу, меньше, а примыкающая к противоположному [полюсу] — больше. Чем ближе мы подходим к полюсу, тем малая дуга меньше, а большая дуга больше. Если же мы окажемся около полюса, то верхняя дуга, отсекаемая горизонтом, будет наименьшей из всех дуг [круга], а нижняя — наибольшей. Однако дело обстоит не так: во всех странах и во всех местностях небесный свод делится пополам и всегда видно шесть знаков Зодиака. Горизонт будет пересекать эклиптику, делясь ею пополам, и эклиптика будет делиться им [также пополам], и если соединить эти две части, то получится целый [круг].

Если бы Земля не находилась под небесным экватором, являющимся поясом Вселенной, делящим ее пополам параллельными [горизонту кругами], то тени гномонов на востоке и на западе во время равноденствий не были бы на одной и той лее линии на плоскостях, параллельных горизонту. Поэтому, если бы Земля была отклонена от центра, увеличение и уменьшение дней [и  ночей] были бы не такими, каковы они в действительности, а Луна никогда не затмевалась бы всякий раз, когда она диаметрально противоположна Солнцу.

О размерах Земли относительно [небесной] сферы

Если бы размеры Земли не были бы неощутимыми по сравнению с небом так [размеры] центра [круга] по сравнению с его окружностью, и если бы она имела ощутимые [размеры], то расстояния между звездами и их величины не ощущались бы одними и теми же, когда они [находятся] в середине неба или у горизонта, потому что их приближение, т. е. нахождение в середине неба, приводило бы к их увеличению, а удаление — к уменьшению; но дело обстоит не так, поскольку в таком случае применение инструментов для наблюдений на поверхности Земли, а не в самом центре привело бы к ощутимым расхождениям, и положения, основанные на этих наблюдениях, не были бы правильными; и скрытая [часть] небесной сферы была бы больше видимой в соответствии с величиной радиуса Земли, так как истинная середина [Вселенной] — это плоскость, разделяющая Землю пополам, а не плоскость, проведенная через глаз. Если же размеры Земли относительно [небесной] сферы малы, то эти [две части] как бы совпадут друг с другом и будут видны приблизительно шесть знаков Зодиака.

О том, что Земля не имеет поступательного движения

Поступательное движение опровергается тем же [рассуждением], которым мы опровергли отклонение от центра. Если бы она обладала прямым движением вверх, вниз или вбок, то ее частицы никогда не могли бы примыкать к ней с противоположной стороны. Странность, состоящая в том, как может тяжелое [тело] удерживаться на одном месте и не падать, отпадает, так как мы знаем, что верх — это всегда сторона неба, а низ — всегда сторона центра [Земли]. Вселенная не имеет ни верхней, ни нижней стороны, поскольку все [части] сферы одинаковы. Центр Вселенной — предел движения тяжелого [тела], а ее горизонт и сторона неба — это предел движения легкого [тела]. Все частицы Земли стремятся к центру по направлениям, перпендикулярным к поверхности Земли; они таковы по своей природе.

Что же касается кругового движения Земли вокруг себя, то некоторые люди утверждали, что небесный свод неподвижен, а Земля движется в сторону востока и поэтому кажется, что небесная сфера движется, а светила восходят. Некоторые считают, что оба эти тела движутся, но в противоположных направлениях.

Рассмотрев эти суждения, Птолемей выразил удивление по поводу того, что предельно тяжелым вещам 5 приписывается быстрое движение; он говорит: если бы Земля имела подобное движение в [сторону] востока в отличие от [других] физических тел, то было бы необходимо, чтобы никакая вещь, которая летит или которую толкнули или бросили, не могла опередить ее; поэтому все вещи отставали бы [от нее] и среди них не было бы видно ничего, движущегося на восток.

Если скажут, что воздух также движется вместе с Землей и имеет подобное движение, то это невозможно. Если бы это было верно, то было бы необходимо, чтобы все находящиеся в воздухе тела, стремящиеся вниз, двигались бы медленнее Земли и воздуха. Тогда не было бы видно ничего из вещей, движущихся в воздухе на восток, напротив, они постоянно отставали бы в направлении запада. Вещи в воздухе не прилипают к нему, не сцепляются с ним и не движутся вместе с ним, иначе они в воздухе не двигались бы ни вперед, ни назад и не колебались.

Если бы Земля обладала подобным движением, то тяжелые вещи падали бы не вертикально, а с отставанием. Все это то, что он сказал. Мы уже доказали невозможность такого движения для Земли в «Физике»¹².

Речь о том, что Вселенная имеет одно общее движение

Он сказал: так как мы видели, что светила, особенно неподвижные звезды, восходят на востоке и заходят на западе и затем возвращаются через каждые сутки, причем расстояния между ними остаются неизменными, а круги, описываемые их движением, параллельны, то нам ясно, что все они имеют одно общее движение, являющееся движением Вселенной¹³. Пояс этого единого движения — небесный экватор, а остальные круги параллельны ему. Небесный экватор называется равноденственным [кругом], потому что если Солнце окажется в какой-либо точке этого круга, то день и ночь для всех местностей равны.

Что касается других светил, таких как Солнце, Луна и планеты, то они не сохраняют своих расстояний до неподвижных звезд, а всегда запаздывают на востоке и движутся не по параллельным, а по различным [кругам], пересекающим параллельные с севера и юга стороны в определенных соотношениях и порядке¹⁴. Если рассмотреть неподвижные [звезды], то, как выясняется позже, они также кажутся запаздывающими на востоке по линиям, параллельным эклиптике, [по которой движется] Солнце¹⁵.

Далее мы должны различать первое движение с запада от движения с востока, противоположного ему. Из того, что мы сказали, необходимо, чтобы оно проходило по наклонным кругам, пересекающим пояс первого движения. Следовательно, имеются два пояса: наклонных кругов и небесного экватора. Пояс наклонных [кругов] — сфера неподвижных [звезд] и круг эклиптики Солнца, как мы выясним позже¹⁶. Первая из двух точек пересечения эклиптики Солнца с небесным экватором называется весенней.  Если Солнце пройдет через нее, то начинается весна. Вторая из этих двух точек осенняя, так как в ней [происходит]  осеннее равноденствие.

Если через два полюса эклиптики и пояс первого движения провести круг, пересекающий их, то этот круг рассечется на две дуги — северную и южную, определяющие расстояние наклонения; на эклиптике определяются две точки — северная и южная. Северная — это точка летнего солнцестояния, так как, когда Солнце достигает ее, начинается лето для всей обитаемой [части Земли], которая нам известна. Южная точка — точка зимнего солнцестояния 6.

Планеты, Солнце и Луна видны восходящими и заходящими вместе с неподвижными [звездами], поэтому ясно, что первое движение охватывает и второе движение и применяется к [телам] второго движения вместе с [телами] собственного движения.

Неподвижные звезды движутся не только на запад. Должно существовать другое движение, охватывающее всю Вселенную и применимое ко всем телам, а не только к светилам.

Что же касается того, что это движение не является собственным [движением] неподвижных звезд, а также планет, то это потому, что они очень медленно движутся на восток; это присуще всем светилам. Но все светила движутся быстро, что обнаруживается сравнением с четырьмя упомянутыми выше воображаемыми точками¹⁷, о которых мы еще будем говорить. Поэтому оно было заметно и требует тонкого [наблюдения] .

Что касается сферы, не содержащей светил, то, если бы [на ней] было светило, оно [неизбежно] было бы видно, так как все небесные светила видны и не скрывают свой свет от зрения.

Об определении хорд частей круга

Основная задача состоит в определении отношений хорд и нахождении их дуг и углов, расположенных на поверхности шара. Начнем с определения хорд; в первую очередь следует установить [способ нахождения] хорды любой данной дуги и дуги любой данной хорды, считая, что круг разделен на 360, а диаметр — на 120 частей¹⁸.

В этом месте совершенно не рассматривается отношение частей диаметра к частям окружности¹⁹. Хорда одной шестой [круга] равна полудиаметру, который известен²⁰. Хорда четверти [круга] также известна по книге  Евклида^2I — это корень удвоенного квадрата хорды одной шестой [круга]²². Хорда трети [круга] также известна — это корень утроенного квадрата полудиаметра²³, т. е. хорды одной шестой [круга], так как квадрат этой стороны есть то, что остается [при вычитании] из квадрата диаметра квадрата первой хорды²⁴.

Сторона восьмиугольника определяется через стороны квадрата тем же приемом.

Если мы хотим определить хорды одной десятой и одной пятой круга, то на диаметре АС построим полукруг [рис. 1], из его центра восставим перпендикуляр DB; разделим CD пополам в Ε и соединим Ε и В. Отложим EG, равную ЕВ, и соединим G и В. Мы утверждаем, что DG равна стороне десятиугольника и что она известна, a BG — сторона пятиугольника, которая также известна.

Доказательство этого. Поскольку CD разделена пополам в Ε и к ней прибавлена DG, то CG на GD и ED на себя вместе равно EG на себя²⁵, т. е. ЕВ на себя, а это есть ED на себя и DB на себя. Отбросим общую ED, тогда остается CG на GD, равная DB на себя, то есть CD на себя. Следовательно, CG разделена в точке D в среднем и крайнем отношении²⁶, где длинная сторона    CD — сторона шестиугольника. Поэтому неизбежно короткая сторона, т. е. DG,— сторона десятиугольника, как было отмечено. Поскольку они квадрируют BG, то BG — сторона пятиугольника. Поскольку СЕ известна, то известна ЕВ, т. е. EG; их сумма CG известна и CD, поэтому DG, BG 7 также известны. Сторона десятиугольника равна 37; 4,55, а сторона пятиугольника — 70, 32,3.

Теперь предпосылаем предложение, необходимое в дальнейшем. Мы его несколько упростим: в каждом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение одной диагонали на другую равно сумме произведений противоположных сторон²⁷. Если четырехугольник равносторонний, то доказательство очень простое.

Пусть четырехугольник с различными сторонами, например ABCD, вписан в круг ([рис. 2], проведем диагонали. Пусть угол ABD больше угла DBC, так что дуга AD, стягиваемая первым углом, больше в данном четырехугольнике. Построим угол ABE, равный углу DBC. Поскольку углы ВАЕ и BDC находятся на одной дуге, то они равны. Поэтому треугольники [ABE и DBC] подобные и произведение АВ на CD равно DB на АЕ. Поскольку угол ABD равен углу ЕВС и углы ВСЕ, ADB равны между собой, то треугольники [СВЕ и ABD] подобные. Следовательно, произведение ВС на AD равно [произведению] DB на СЕ. Сумма ВС на DA и АВ на CD равна сумме BD на СЕ и BD на АЕ, то есть [произведению] BD на СА. Это и есть то, что мы хотели доказать.

Теперь докажем, что хорда избытка полукруга над двумя дугами с известными хордами известна.

Для того, чтобы облегчить нахождение хорды дуги, являющейся избытком полукруга над двумя дугами, мы приложим эти дуги и их хорды [начиная] из концов диаметра [круга]. [Избытком] будет дуга, находящаяся между этими двумя [дугами]. Эта дуга и ее хорда равны  [соответственно] избытку   и его хорде, находящимся у одного конца диаметра; при этом дуги с известными хордами находятся друг за другом у другого конца.

Пусть искомая хорда СВ; требуется ее определить через хорды DC и АВ, выходящие из концов диаметра AD [рис. 3]; соединим DB и С А, они известны, так как являются хордами — дополнениями данных дуг до полукруга; хорда и диаметр известны; угол, [опирающийся]  на диаметр,— прямой. Следовательно, произведение одной [диагонали] на другую известно; DB и С А известны и поэтому известно [произведение] СВ на AD; разделив это на известную AD, получим СВ.

Отсюда выясняется, что остаток от полукруга после [отбрасывания] двух дуг с известными хордами имеет известную хорду. Этот [остаток] равен тому, что здесь находится в середине. Если это известно, то известна и хорда разности между двумя дугами с известными хордами, как [например] хорда разности дуг одной шестой и одной пятой части [круга]²⁸.

Так же можно определить хорду половины дуги, хорда которой    известна. Соединим    точки    В   и    С [рис. 4]; ВС — известна, разделим ее дуги пополам в D. Проведем хорды BD и CD.   Мы утверждаем, что эти хорды    известны. Соединим А и В, А и D, отложим   АЕ, равную АВ, соединим D и Е. Поскольку ЕА и AD соответственно равны АВ  и AD, а углы А находятся на равных дугах, то треугольники [EAD и BAD] равные. Следовательно, их   основания BD и DE равны и поэтому ED равна DC. В треугольнике EDC [из угла D] опустим перпендикуляр DG. Поскольку АВ 8, то есть АЕ, известна и АС известна, то остаток ЕС и его половина EG  известны; AG — известна,  GC — известна.  Прямоугольный треугольник ADC   подобен прямоугольному     треугольнику   DGC Следовательно, АС относится к DC как DC к CG; DC — средняя   и поэтому известна²⁹. Мы нашли способ определения £ по данной хорде дуги двенадцати градусов, хорды шести градусов, хорды [трех градусов],    хорды    полутора    градусов и хорды трех четвертей градуса.

Мы утверждаем, что если даны две маленькие дуги, хорды которых известны, то можно определить хорды суммы этих дуг. Например, пусть хорды АВ и ВС известны. Мы утверждаем, что хорда суммы этих дуг известна. Положим, что эта сумма меньше половины круга. Пусть искомая хорда АС  [рис. 5]. Проведем диаметр AD, соединим С и D. Поскольку АВ, ВС известны, то оставшаяся DC также известна. Следовательно, будет известной и оставшаяся хорда до полукруга АС. Доказательство этого в «Альмагесте».

Проведем диаметр BGE [рис. 6] ; соединим CD, DE, СЕ и DB; ВС известна и поэтому СЕ также известна; подобно этому известна BD, так как АВ известна. Через диагонали СЕ и BD будут известными ED и CD, являющиеся сторонами четырехугольника. Отсюда будет известной [искомая] АС³⁰.

Если из данной дуги отсечь дугу с наименьшей хордой и постепенно складывать эту дугу с другими частичными дугами с известными хордами, то хорды их сумм будут известными. Точно так же будет, если мы возьмем кратные наименьшей дуги.

Птолемей принимает, что [самая подходящая] наименьшая хорда есть хорда полуградуса; если известна [хорда] полуградуса, то можно вычислить хорду одной четверти и одной восьмой части градуса. Однако способ деления пополам, примененный им, не приводит его к [хорде] полуградуса, что облегчило бы нахождение остальных [хорд].

При вычислении хорд мы дошли до хорды разности одной шестой части и одной пятой части [круга]. Это сорок восемь [градусов]. Деление пополам приводит нас к хорде двадцати четырех [градусов], затем двенадцати, шести, трех, полутора; половины и одной четверти. Оно не ведет к определению хорды одного [градуса] и хорды полуградуса.

Точно так же деление пополам одной шестой части [круга] приводит к хорде тридцати, пятнадцати, семи с половиной [градусов]. Оно не приводит к одному [градусу] или к полуградусу. Если начинать деление пополам дуги одной десятой части [круга], то можно дойти до четырех с половиной и до двух с четвертью [градуса].

Если можно было бы определить хорду третьей части известной дуги с помощью линий, то можно найти это через хорды полутора градусов.

Он сказал: если это невозможно, то нужно прибегать к способу приближений, который опирается на следующее положение. Отношение длинной хорды к короткой в одном и том же круге меньше отношения 9 большой дуги к меньшей^3I. Пусть хорда СВ длиннее хорды АВ. Я утверждаю, что отношение длинной хорды ВС к короткой хорде АВ меньше отношения дуги СВ к дуге АВ. Соединим А и С [рис. 7]. Разделим угол В пополам прямой линией BD, которая пересечет СА в Е. Проведем CD и DА; они равны как хорды равных дуг, потому что углы при В равны. Опустим из D перпендикуляр DG; он расположится внутри треугольника ECD, потому что разделит    пополам основание равнобедренного треугольника. СЕ длиннее ΕА, так как СВ длиннее ВА в силу деления угла В пополам. Поскольку угол G прямой, то он больше угла DAC, но неизбежно меньше внешнего угла DEA, который больше оставшегося угла DEG.

Поэтому сторона AD длиннее DE, a DE длиннее DG. Если примем точку D за центр и на расстоянии DE опишем сектор, расположенный внутри треугольника DEA, который пересекает DA в H, то он расположится вне треугольника DEG. Продолжим перпендикуляр до пересечения с ним в точке F. Тогда отношение сектора DEF к сектору DEH, то есть отношение угла GDE к углу ADE, больше отношения треугольника EDG     к   треугольнику ADE, то есть отношения основания СЕ к основанию ЕА этих треугольников, имеющих одинаковую высоту. Присоединяя отношение, получим, что отношение GA к АЕ меньше отношения суммы всего угла GDA к углу EDA; удвоением получим, что отношение всего СА к АЕ меньше отношения всего угла CDA к углу ADE, выделяя³² отношение угла CDB к углу ΒDΑ, получим, что отношение СЕ к ΕА, то есть СВ к В А, меньше отношения дуги СВ к дуге ВА.

Пусть теперь в этом круге AD — хорда градуса и половины [рис. 8]. Это по вычислению будет одна часть — тридцать четыре минуты пятнадцать секунд ; хорда АС — хорда одного градуса, которая неизвестна. АВ — хорда половины с четвертью градуса; это составляет сорок семь минут восемь секунд. Поскольку отношение дуги AD к дуге АС [есть] отношение равного с половиной к равному, то отношение хорды AD к АС меньше отношения равного с половиной к равному. Следовательно, АС больше двух третей AD; поэтому АС больше одной части двух минут пятидесяти секунд, это и есть [значение] двух третей AD. По такому же вычислению АС меньше АВ с третью, то есть одной части двух минут пятидесяти секунд.

Таким образом, одна и та же вещь в двух вычислениях получается больше и меньше одного и того же [числа]. Поэтому АС приблизительно равна одной части — двум минутам пятидесяти секундам³³. Это есть то, что мы хотели найти.

[Путем деления пополам дуги одного градуса можно найти и хорду полуградуса] .

Далее способом сложения двух дуг, хорды которых известны, получаются величины хорд других дуг, возрастающих через полуградус.

Птолемей составил для них таблицу, начиная от полуградуса и увеличивая через каждый полуградус до ста восьмидесяти 10 градусов³⁴.

Сначала он в таблицу расположил числовые значения дуг и [хорд], а затем значения, соответствующие хорде одной минуты дуги, с тем, чтобы найти хорду искомой дуги, которая больше или меньше того, что имеется [в таблице], на несколько минут. Для этого умножим соответствующее значение [хорды] одной минуты на число минут в разности и прибавим или вычтем. Это приближение    неощутимо    [отличается от истинного]. Что касается истинного, то дуги не относятся [друг к другу] как их хорды. Это первая цель.

Об определении склонения

Что касается второй цели,    то она состоит в определении дуги между солнцестояниями для того, чтобы, разделив ее пополам, найти наибольшее склонение³⁵, а также в    установлении    основ (принципов,  предпосылок)  нахождения [других]  неизвестных дуг    кругов,   начерченных на поверхности сферы. Среди них    [дуги]    склонений   градусов    эклиптики³⁶, т. е. дуги, находящиеся между точками градусов эклиптики и точками сечения небесного экватора и являющиеся частями круга, проходящего через полюсы небесного экватора и этого градуса. Среди них также другие дуги, которые   мы   подробно   разъясним позже.

Способ наблюдения склонения таков: возьмем медный круг, окруженный четырьмя [попарно] параллельными плоскостями. Разделим его, насколько это возможно, на градусы и минуты. [Возьмем] другой круг, который будет вращаться по первому кругу, но не будет заслонять сделанные  на нем деления, и установим оба эти круга с предельной точностью. Сделаем на диаметре внутреннего [круга] два [небольших, противоположно расположенных] указателя, как это делается в астролябии. Поставим [указанные круги] на устойчивом столбе, пересекающем плоскость горизонта под прямым углом. Плоскости этих двух кругов будут расположены в круге меридиана.

Что касается того, что их плоскости должны пересечь плоскость горизонта под прямым углом, то это осуществляется с помощью отвеса. Для того, чтобы они были в плоскости меридиана, нужно провести полуденную линию, для чего нужно найти предельно ровное место на земле так, что если налить на него воду, то она не стекает в [одну] сторону. Поставим на этом месте прямой столб из меди, дерева или другого [материала] . Сделав его основание центром, опишем наибольший из тех кругов, на окружности которых конец тени [столба] в течение некоторого времени падает четко и не рассеянно. Далее будем следить за концом тени, когда она падает на [окружность] этого [круга] до полудня, а также, когда она падает на нее второй раз после полудня. Отметим эти две точки и разделим дугу между ними пополам и отметим эту середину. Линия, проведенная от нее через центр, и есть меридиан.

Теперь установим [инструмент]³⁷ по этой [линии] и с его помощью будем находить высоту Солнца все время, начиная с южной [точки] равноденствия, пока не определим предела его понижения. Отметим тот градус, до которого доходит гибкий указатель. Точно так же поступим, когда Солнце на севере, пока не определим предел его высоты. Отметим градус, до которого доходит указатель как в астролябии³⁸. То, что находится между двумя отмеченными точками,— удвоенное [наибольшее] склонение, половина этого и есть наибольшее склонение. Линия, соединяющая середину [полученной дуги] с центром, находится на плоскости небесного экватора.

Склонение можно найти и более легким способом, если взять призму, имеющую точные квадратные и прямоугольные грани.

Пусть, например, одна из ее граней — квадрат ABCD [рис. 9]. Из центра В радиусом АВ опишем четверть круга АС. Разделим ее на девяносто градусов и, по возможности, на минуты. Установим ее по полуденной линии так, чтобы ее плоскость пересекла плоскость горизонта под прямым углом, и поставим угол В на южной стороне. Поставим в точке В с помощью отвеса перпендикулярный шест так, чтобы его тень доходила до дуги 11 АС. [Поставим] в точке С такой же шест так, чтобы тень шеста, поставленного в В, падала на деления  [дуги]  ежедневно.  Чем    больше будет высота [Солнца], тем ниже будет его [тень], чем больше будет понижение, тем выше тень. Если мы дойдем до двух пределов — высоты и понижения, то мы узнаем то, что между ними. Позади дуги с северной стороны мы должны подложить что-то, что не позволило бы тени рассеиваться³⁹.

Птолемей говорит, что, опираясь на наблюдения, главным образом на  [измерение] относительно точки зенита и расстояние от нее, мы нашли дугу между солнцестояниями, [равную] сорока семи градусам и больше двух третей, но меньше половины и одной четверти градуса, а это близко к тому, что сказал Эратосфен⁴⁰, и совпадает с [тем, что привел] Гиппарх⁴¹.

С помощью этого инструмента можно найти широту местности; для этого определим градус небесного экватора и возьмем расстояние зенита от него, которое равно дополнению широты до девяноста [градусов]. На инструменте это то расстояние, что между С и равноденственным кругом. Оно само и является высотой полюса.

Имеются и другие приемы для этого наблюдения; о них мы расскажем в «[Книге] приложений».

Для дополнения первой цели приводим одну геометрическую предпосылку: если на линиях АВ и АС, образующих между собой угол, взять две точки D и Ε и соединить их концами, то отношение АС и АЕ составлено из отношений CD к DG и BG к BE ⁴² [рис. 10].

Доказательство этого. Проведем ЕН параллельно CD, тогда АС относится к АЕ как CD к ЕН. Пусть CD — промежуточная [величина].    Тогда    отношение CD к ЕН составлено из отношений CD к GD и GD к EH.

CD имеет отношение к GD, и GD имеет отношение к ЕН. Можно вставить любую величину между двумя величинами и составить с ними два отношения, для которых она будет средней, и тогда отношение одной из двух величин к другой будет иметь определенное отношение, составленное из этих двух отношений, если средняя величина та же, но не другая.

Если же изменить ее, то [упомянутое отношение будет составлено] из других двух отношений. Но АС относится к АЕ как CD к НЕ. Поэтому он взял величину, отношение АС к которой [составлено] из отношения CD к GD и [отношения] GD к НЕ (по книге «Начала» Евклида). Тогда [отношение, составленное] из отношения АС к этой величине, и отношение этой величины к АЕ таково же, как [отношение, составленное] из отношения CD и DG и [отношения] DG к ЕН.

Мы здесь долго [обсуждали] это с тем, чтобы ты понял [сущность] составления отношений.

Но GD относится к ЕН как GB к BE. Итак, возьми отношение CD к DG, а затем [отношение] GD к ЕН или [отношение] GB 12 к BE. Следовательно, отношение СА к ЕА составлено из двух отношений: CD к DG и BG к BE. Также выделением получится, что отношение СЕ к ЕА составлено из отношения CG к GD и из отношения BD к ВА. Проведем АН параллельно ЕВ [рис. 11]; если продолжить CD, то она обязательно пересекается с АН. Это потому, что угол GEC, то есть НАС, и угол АСН вместе меньше двух прямых. Пусть они пересекаются в точке Н. Отношение СЕ к ЕА равно отношению CG к GH, то есть составлено из двух отношений: CG к GD и GD к GH. Поскольку два треугольника [ADH и BDG], в силу [равенства] вертикальных углов и параллельности противоположных сторон, подобные, то, присоединяя стороны, получим, что отношение GD к GH равно отношению BD к ВА. Следовательно, отношение СА к ЕА составлено из указанных нами отношений⁴³.

Об определении синусов

Пусть ABC круг с центром D и на круге даны произвольные три точки С, В и А так, что каждая из СВ и ВА меньше полукруга [рис.12]. Тогда синус АВ относится к синусу ВС как АЕ к ЕС, сумма которых будет хорда, разделяющая полудиаметр, проведенный к точке В. Под синусом понимается половина хорды удвоенной дуги. Поэтому отношение одного синуса к другому — это отношение хорд. Проведем [линии] синусов СН и AG, которые неизбежно будут перпендикулярными к диаметру. Поскольку треугольники подобные, то AG относится к СН как АЕ к ЕС. Это и есть искомое⁴⁴.

Предпосылка, необходимая в этом. Если известны углы, то определяется и отношение   их сторон.  Если углы вписаны в круг и нам известна дуга каждого угла, то это — отношение соответствующей хорды к диаметру такого круга; причем если угол прямой, то его хорда — диаметр. Поэтому если известны один из углов или другая сторона и ее отношение к хорде прямого угла, то этого достаточно, чтобы определить дугу, на которую опирается угол; после этого находится оставшаяся дуга, дополняющая данную до пулукруга, и ее хорда, которая будет третьей стороной. Поэтому если узнаем отношение углов и их величины, то определим и их соответствующие дуги. Отсюда следует, что если известны дуга СА и отношение двух синусов дуг СВ и В А, то будут известными каждая из этих дуг⁴⁵.

Проведем из центра D перпендикуляр DG [рис. 13]. Поскольку AD, то есть половина диаметра, известна, то половина хорды и дуга известны. Поэтому отношение АЕ к СЕ известно; отношение всей хорды к СЕ известно. Тогда СЕ и EA будут известными; разность EG известна и DG известна, потому что в треугольнике AGD угол G — прямой и AD, AG известны, и поэтому треугольник известен. Точно так же в треугольнике DEG EG известна, это разность между   известными;  определяются  и каждый из углов этих треугольников. 13 Тогда весь угол D будет известным. Следовательно, дуга АВ и оставшаяся дуга СВ будут известными.

Пусть будет круг ABC с центром D и пусть DA и СВ встретятся в Ε [рис. 14], тогда синус СА относится к синусу АВ как СЕ к BE. Опустим перпендикуляры СН и BG на АН, которые параллельны и являются синусами дуг АС и АВ, они относятся как СЕ к BE.

Если дается одна дуга СВ и отношение синусов известно, то АВ известна. Продолжим ВС до встречи с DA в Ε [рис. 15], опустим на ВС перпендикуляр DG. Поскольку угол BDG, стягиваемый половиной дуги, известен и прямой угол известен, то известна сторона DB. Треугольник DGB с прямым углом известен, то есть известны его стороны и углы.   Поскольку отношение синусов, то есть отношение СА к АВ, известно и СВ известна, то известно и отношение СЕ к BE. Избыток BE будет известным. Поэтому СЕ и BE известны.

Треугольник EGD и угол GDE известны; угол BDG известен, поэтому оставшийся угол EDB известен, следовательно, дуга АВ известна. Если эти линии встретятся с другой стороны [рис. 16], то СН определяется таким образом, как мы определили дугу АВ в первом предложении. Будет известна вся ВН. Но полукруг HDA известен и поэтому оставшаяся дуга ВА известна.

Когда эти линии параллельны, то есть не встретятся, то пусть BE будет синусом АВ [рис.   17],  она    неизбежно перпендикулярна диаметру АН; CG — синус АС, которая также перпендикулярна АН; следовательно, углы В, С между параллельными — прямые; фигура СЕ — прямоугольник. Тогда BE и CG равны; но CG является также синусом СН, дуга СВ известна, половина ее дополнения до полукруга будет известна, это есть [дуга] ВА⁴⁶.

Эта предпосылка служит для понимания предложения о секущих. Вот это предложение. Даны четыре дуги больших кругов, описанных на поверхности сферы, каждая из этих дуг меньше полукруга; пусть дуги С А и ВА встретятся в А; из С 14 и В проведены две дуги, пересекающиеся в G; пусть они пересекают СА и ВА в D  и  E.

Мы утверждаем, что отношение синуса дуги СЕ к синусу дуги ЕА составлено из отношения синуса дуги CG к синусу дуги GD и отношения синуса дуги DB к синусу дуги ВА⁴⁷. Для облегчения доказательства этого предложения положим, что диаметр   каждого круга и каждая его хорда расположены в одной плоскости. Возьмем центр [сферы], и пусть он будет Н; соединим его с точками пересечений кругов линиями ЕН, НВ и НС [рис. 18].

Хорды AD и ВН обязательно должны быть расположены в одной плоскости; ВН параллельна AD или не параллельна. Если не параллельна, то они встретятся в одном из двух направлений; пусть AD встретится с НВ в сторону D в [точке] F. Проведем хорду АС, которая необходимо пересекает полудиаметр его круга в L. Точно так же хорда CD пересекает GH в К. Поскольку линии НЕ, HG и HF встретятся с дугой EGB, то все они находятся в одной плоскости; это есть упомянутая плоскость. Продолжим AD в прямом направлении до этой плоскости; FA также находится в этой плоскости. Точки L, К и F [одновременно] находятся на двух плоскостях: одна из них — плоскость дуги EGB, другая — плоскость треугольника ACD, если их соединим, то получится прямая LKF, как это доказано в книге Евклида. Поскольку между двумя встречающимися прямыми АС и AF проведены линии CD и FL, пересекающиеся в точке К, то отношение CL к AL составлено из отношения СК к KD и отношения FD к FA. Но CL относится к LA как синус дуги СЕ к синусу Ε А · точно так же СК относится к KD как синус дуги CG к синусу дуги GD; FD относится к FA как синус дуги BD к синусу дуги В А. Следовательно, отношение синуса дуги СЕ к синусу дуги ЕА составлено из отношения синуса дуги CG к синусу дуги GD и отношения синуса дуги BD к синусу дуги В А. Это и есть требуемое [доказательство] .

Теперь рассмотрим случай, когда эти линии встретятся в стороне А. Это отсутствует в книге  [Птолемея].

Для этого приводим одну предпосылку. Мы утверждаем, что если отношение [величины] А первой к В второй составлено из отношения С третьей к D четвертой и отношения Ε пятой к G шестой, то отношение С третьей к D четвертой составлено из отношения А первой к В второй и отношения G шестой к Ε пятой [рис. 19]. Доказательство этого. Возьмем С, D, Е, G и Н, F, J, отношение Η к J такое же, как 15  А к В. Пусть J сделаем средней между Η и F, тогда отношение Η к F, то есть отношение С к D, которые соответствуют третьей и четвертой, составлено из отношения Η к J. то есть отношения А к В, которые соответствуют первой и второй, и [отношения] J к F, то есть шестой к пятой. Это и есть то, что мы хотели предпослать.

Сделаем так, что AD и ВС встретились в стороне А в [точке] F [рис. 20]; дополним половины кругов BDAK и BGEK, они встречаются на диаметре в точке, отличной от F, потому что FA расположится вне сегмента круга ΒDΑ. Однако, как уже было доказано в предыдущем предложении, отношение [синуса] CG первой к синусу GD второй составлено из отношения синуса СЕ третьей к синусу ЕА четвертой и отношения [синуса] КА пятой, то есть синуса  АВ [так как КАВ — полукруг] к синусу  KD шестой, то есть синусу DB (так как KDB — полукруг).

Поэтому отношение синуса СЕ третьей к синусу ЕА четвертой будет составлено из отношения синуса CG первой к синусу GD второй и отношения синуса BD шестой к синусу ВА пятой. Это и есть то, что мы хотели доказать.

Что касается случая, когда [линия AD] параллельна ВН, то для доказательства предложения приводим следующую предпосылку. Если А к B относится как С к D и отношение Ε к G единичное⁴⁸, то отношение А к В составлено из отношения С к D и отношения Ε к G [рис. 21]. Пусть Η равно В, тогда отношения А к Η и С к D одинаковые ; отношение Η к В есть отношение Ε к G. Поскольку отношение А к В составлено из отношений А к Η и Η к В,  то оно составлено из отношений С к D и Ε к G. Тем самым доказано, что отношение А к В составлено из отношения [А к В] и единичного отношения. Каждое отношение составлено из отношения, равного себе, и единичного отношения.

После доказательства этого мы утверждаем, что хорда AD параллельна ВН [рис. 22], дополним полукруг BDA до конца диаметра, это точка F. Проведем хорды АС и DC; опустим из центра D перпендикуляр DX, находим центр, это — Н; соединим [линией] Ε и Н, которая пересекает хорду АС в L; HG пересекает хорду CD в К; соединим К и L. Поскольку диаметр BF, дуга EGB, линия НЕ, точка L лежат в одной плоскости, то можно провести в плоскости EGBH через точку L линию, параллельную диаметру, т. е. AD.  Следовательно, несомненно, можно провести также через точку L на плоскости ADC линию, параллельную линии AD. Я утверждаю, что это линия LK. Пусть параллельная [линия], выходящая из L, будет другой; что касается плоскости EGBH, то, возможно, будет параллельная линия LM; относительно плоскости ADC, возможно, будет параллельная линия LD. А каждая из этих линий — LM и LD параллельна линии DA; следовательно, они параллельны между собой; но они встречаются в L. Таким образом, они параллельны и не параллельны, это нелепо. Поэтому DA 16 параллельна только LK. Таким образом, из боковых сторон треугольника ADC проведена линия, параллельная основанию. Следовательно, отношение CL к LA равно отношению СК к KD и поэтому отношение синуса СЕ к синусу ЕА равно отношению синуса CG к синусу GD. Пусть составим [первое] из этого отношения и единичного отношения; единичное — отношение синуса BD к синусу В А, каждый из которых есть DX; синус BD равен синусу АВ, потому что AD параллельна НВ, отсюда [дуга] FA равна [дуге] BD и [дуга] DF равна дуге АВ, так как синусы DF и ВА есть DX, Поэтому отношение синуса   BD   к синусу ΒΑ — единичное отношение; отношение синуса CG к синусу   GD — отношение синуса СЕ к синусу Ε А. Тогда отношение синуса СЕ к синусу ЕА составлено из отношения синуса CG к синусу GD и отношения BD к синусу В А. Это и есть то, что мы хотели   доказать. Мы утверждаем также, что, присоединяя и. выделяя отношения, получим: отношения синусов СА к ЕА составлено из отношения синусов BG к BE. Дополним полукруги СА и CD. Пусть они встретятся в F [рис. 23]. Но было доказано, что отношение синуса дуги FA, то есть СА первой, к синусу   дуги   Ε А составлено из    отношения    синуса FD третьей к синусу FD четвертой и отношения синуса BG к синусу BE; синусы [дуг] FA, АС и FD, DC одинаковы. Отсюда получается требуемое. Это и есть то, что мы хотели доказать⁴⁹.

Примем это за основу по выяснению вопросов, касающихся [измерения] дуг. Определим способ вычисления склонения⁵⁰ через каждый градус. Это есть величина дуги, ограниченной градусом эклиптики и небесным экватором и взятой по кругу, проходящему через оба полюса небесного экватора и через градус [эклиптики].

Пусть  ABCD — круг,   проходящий через четыре  полюса⁵¹    [рис. 24],  а  АЕС — полукруг   небесного   экватора, BED — полукруг эклиптики; Ε — их точка [пересечения], то есть точка весеннего   [равноденствия], так что В и D будут соответственно     [точками] зимнего и летнего солнцестояний.

Пусть    ЕH — известная   [дуга]   эклиптики,  например,  она равна 30 градусам, G — полюс   небесного экватора;  проведем дугу GHF [большого    круга].    Тогда    HF    будет склонением НЕ, величину которого требуется определить.    Поскольку    между дугами ABG и AFE проведены две дуги — 17 GHF и ЕНВ,    пересекающиеся    в Н, то отношение синуса    GA к синусу ВА составлено из отношения синуса GF к синусу FH и отношения синуса ЕН к синусу ЕВ; но синус AG известен, он — синус девяноста [градусов]; синус  ВА известен — он синус полного склонения. Из оставшихся двух отношений — отношение синуса ЕН к синусу ЕВ — отношение известных величин, то есть отношение тридцати градусов к синусу четверти круга. После вычитания  остается  отношение синуса GF к синусу FH, которое [также] будет известно. Поскольку каждое из отношений и синус GF известны, то известен и синус FH. Итак, FH известна⁵². Для легкого способа отбрасывания отношения из отношения мы требуем два числа отношения, которые были бы не больше и не меньше его, тогда отношение одного к другому — одно из двух отношений, остающихся [при отбрасывании] из него, и находится третье число; затем рассматриваем отношение этого третьего числа ко второму из двух первых чисел, которое не больше и не меньше его. Если нет отношения, то [имеем отношение] к другому, это — отношение двух данных неизвестных⁵³.

Вычисляя, получим для HF 11; 39, 39, а для двух знаков Зодиака⁵⁴, [то есть для 60 градусов],— 20; 30, 9.

Птолемей по этому способу вычислил значения [склонений] через каждый градус квадранта [и поместил] в двух рядах, каждый из этих рядов, в свою очередь, состоит из четырех рядов по столбцу: один ряд — для числа градусов [эклиптики] ; другие — для градусов, минут и секунд [склонения]⁵⁵.

О восхождении в прямой сфере

После изложения того, что касается градусов склонения, Птолемей переходит к определению восхождения в прямой сфере. В прямой сфере⁵⁶ полюсы экватора находятся на горизонте, а пояс [движения] проходит через зенит без отклонения, поэтому небесная сфера движется перпендикулярно к полуденной линии на Земле, а полюсы экватора находятся на горизонте. Таким образом, восхождение — это часть небесного экватора, восходящая вместе с частью эклиптики^56а.

Если небесная сфера прямая, то градусы восхождения и градусы меридиана равны и между ними нет разницы, так как движение происходит вокруг полюсов земного экватора. Если два полюса на горизонте, то небесный экватор и меридиан пересекаются в зените. Если же сфера наклонная⁵⁷, то дело обстоит иначе, так как движение происходит не вокруг двух полюсов зенита, а вокруг полюсов небесного экватора, поэтому движение частей в течение равных [промежутков] времени одинаковое, так что разные движения следует устанавливать по их времени.

Установлено, что один оборот — это один день и одна ночь. Если определен градус, в котором восходит светило, а он определяется по экватору и по эклиптике, то можно определить, с каким градусом небесного экватора восходит каждый градус и все градусы эклиптики. Градус небесного экватора измеряется частями дня и ночи.

Пусть дан рисунок склонения. Ясно, что нужно взять те градусы небесного экватора и те градусы эклиптики, то есть отрезок круга, проведенного в этом климате из полюса небесного экватора и проходящего через градус восхождения до небесного экватора. Тогда то, что между [горизонтом и эклиптикой],— место восхождения⁵⁸.

Если представить себе, что сфера движения небесного экватора неподвижна, а по ней движется круг горизонта до тех пор, пока [светило] не достигнет меридиана и не вернется опять к кругу горизонта 18, и если наблюдать за его движением между его положениями на востоке и положением его восхода, то величина, которую мы представили себе, что она движется, обязательно будет дугой, проведенной из полюса небесного экватора и доходящей до небесного экватора. То же самое получится, если меридиан будет двигаться. Все другие линии, начерченные этим воображаемым движением, будут одинаковыми до  экватора  и разными  после  него⁵⁹.

Если нужно определить нам его [прямое восхождение] по тому же рисунку, то это и есть линия EF [рис. 25]. Поскольку отношение синуса GB к синусу ВА составлено из отношения синуса GH к синусу HF (которые известны, так как HF уже узнали, a GF — четверть [круга] и GH будет известна, поэтому их синусы известны) и отношение синуса EF к синусу Ε А; последний известен и поэтому синус EF известен. Следовательно, EF известна. По вычислению она равна 27; 50, для двух знаков Зодиака — 57; 44, для третьей части четверти Зодиака — 32;  16 градусам⁶⁰.

В таблице поместим его значение для каждого из десяти градусов [эклиптики] начиная от Овна последовательно⁶¹.

Комментарии

6. Словом «книга» мы в соответствии с установившейся традицией переводим арабское «макалат», обозначающее составную часть «Альмагеста». Встречающееся в дальнейшем слово «китаб», означающее книгу «Альмагест», мы переводим как «сочинение».

7.  Первая книга «Альмагеста» Птолемея состоит из следующих глав:

Введение

О последовательности изложения.

О том, что небо имеет сферическое движение.

О том, что Земля в целом имеет вид сферы.

О том, что Земля находится в середине неба.

О том, что по сравнению с небом Земля является точкой.

О том, что Земля не совершает никакого поступательного движения.

О том, что в небе существуют два различных вида первых движений.

О специальных понятиях.

О величине прямых в круге.

Таблица прямых (хорд) в круге.

О дуге, заключающейся между тропиками,

Предварительные теоремы для доказательств сферики.

О дугах между равноденственным кругом (небесным экватором) и эклиптикой.

Таблица склонений.

О восхождениях на прямой сфере.

8. Положения или принципы, положенные в основу «Альмагеста», следующие: 1) небо имеет сферическую форму и движется сферически; 2) Земля — сферична по своей форме; 3) Земля расположена в центре всего неба; 4) величина Земли по отношению к небу неощутима; 5) Земля не имеет никакого движения; 6) в небе существуют два различных вида первых движений. Этим принципам посвящены соответственно III—VIII главы I книги «Альмагеста» [3, стр. 6—24].

9. Зенит — точка небесной сферы, находящаяся прямо над головой наблюдателя. Слово «зенит» произошло от первого слова арабского выражения «самт ар-ра'с», которое средневековые латинские переводчики транскрибировали сначала zemth, а затем из-за описки переписчика, заменившего m на ni, стали писать zenith.

Под зенитной параллелью здесь понимается небесный   меридиан — фалак нисф ан-нахар, дословно «орбита полудня» — большой круг небесной сферы, проведенный в направлении с севера на юг и являющийся общим перпендикуляром эклиптики и небесного экватора (см. примечания 10 и 16). Он проходит через зенит и южную точку горизонта; латинское слово meridianus — перевод слова «полуденный». Большой круг земной поверхности, проведенный в том же направлении, т. е. высекаемый из земной поверхности плоскостью небесного меридиана — земной меридиан, проходящий через точку, в которой находится наблюдатель.

Горизонт — круг небесной сферы, высекаемый из нее плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей точку земной поверхности, в которой находится наблюдатель, с центром Земли, и проходящей через центр Земли (истинный горизонт) или через точку, в которой находится наблюдатель (видимый горизонт). На рисунке 112 большой круг SWNO — истинный горизонт, точки S, W, N,O — соответственно его южная, западная, северная и восточная точки, большой круг ZSZ'N — небесный меридиан, точка Ζ — зенит, точка Ζ'-надир — точка, диаметрально противоположная зениту (от арабского назир — «соответствующий», диаметрально противоположный). В настоящее время меридианом называют    любой     большой  круг небесной сферы,    перпендикулярный к экватору.

10.    Небесный экватор — му'аддил ан-нахар, дословно — «уравнивающий день»; латинское слово aequator — перевод слова му'аддил — «уравнивающий».

11.  Эклиптика — см. прим. 16.

12.  Здесь речь идет о доказательстве положения геоцентрической системы Птолемея о неподвижности Земли. Аль-Фараби в «Перечислении наук», поддерживая этот тезис, писал: «Земля в целом не движется ни со своего места, ни на своем месте»  [1, стр. 27].

В данном случае он имеет в виду физическое доказательство невозможности движения Земли, приведенное им в «Физике». Какова суть этого доказательства — нам неясно. Но нам известно доказательство аль-Бируни в «Каноне Мас'уда» о невозможности вращения Земли вокруг своей оси, основанное на физических аргументах. Признавая как математик правомерность допущения такого движения Земли, аль-Бируни как физик сильно сомневался в возможности этого, на что в своих исследованиях указали К. Наллино, П. Г. Булгаков [5, стр. 271]. В частности, аль-Бируни пишет: «... Мы же знаем, что если отделившееся от Земли тело находится в зенитном положении, то при наличии какого-то движения вместе с Землей, когда она подвергнется воздействию добавочной силы, [т. е. силы, двигающей в ту или иную сторону тело], последняя заставит его отклониться от воображаемого покоя [в зените], и в процессе этого выявятся разные влияния этой силы, обусловленные различными ее направлениями. А именно: сила, заставляющая [тело двигаться] в сторону востока, сложится с естественным [предполагаемым] восточным движением   Земли],  а сила,   заставляющая [тело двигаться] в сторону запада, будет противиться движению [Земли], сталкиваться с ним. При этом были бы различны и прыжки прыгуна, и полеты стрел, пущенных в этих направлениях, и полеты птиц. Все это так же различалось бы и [при движении тел] в направлении на север и на юг вследствие расширения [диаметров параллелей Земли] в одном из этих направлений и сужения в другом. Но ничего этого в действительности нет, и, следовательно, нет у Земли, [находящейся] на своем месте, вращательного движения вокруг ее центра» [10, стр. 85].

Мы предполагаем наличие преемственной взаимосвязи между упомянутым физическим доказательством аль-Фараби и этим доказательством аль-Бируни.

13.  Первое, западное движение небесной сферы — суточное, оно происходит за счет вращения Земли вокруг ее оси.

14.  Это восточное движение Солнца, Луны и планет, направленное навстречу суточному движению. Оно происходит за счет обращения планет вокруг Солнца.

К планетам аль-Фараби, вслед за греками, относит   Солнце  (Афтаб и Шамс), Луну (Камар), Меркурий (Утарид), Венеру (Зухра), Марс (Маррих), Юпитер (Муштари) и Сатурн (Зухад).

Солнце и Луну аль-Фараби иногда называет общим словом «наййиран» — «два (главных) светила». Наши названия пяти последних планет — имена римских богов, соответствующих богам, именами которых являются греческие названия планет. Греческие названия были введены в V веке до н. э. под влиянием вавилонских астрономов, давших планетам имена вавилонских богов (Набу, Иштар, Шамаш, Мардук, Нергал).

15.  Основным видимым движением небесных светил аль-Фараби считает и «движение неподвижных звезд», происходящее за счет прецессии (предварения равноденствия), т. е. движения земной оси в пространстве, при котором она описывает конус с периодом 26000 лет. При прецессии долготы неподвижных звезд изменяются на 50'26" за год.

16.  Наклонный пояс (круг) или круг знаков Зодиака, так называемая эклиптика (фалак ал-бурудж), является большой окружностью на видимой небесной сфере, по которой совершается видимое движение Солнца; вдоль этой же линии, но с некоторыми отклонениями от нее движутся Луна и планеты. Эклиптика разделена на 12 равных участков, каждый из которых Солнце проходит за месяц. Эти участки, называемые знаками Зодиака (бурудж), соответствуют одноименным созвездиям Зодиака: Овен (Хамал — «ягненок»), Телец (Саур — «бык»), Близнецы (Джуза), Рак (Саратан), Лев (Асад), Дева (Сунбула — «колос»), Весы (Мизан), Скорпион (Акраб), Стрелец (Каус — «лук»), Козерог (Джади — «козленок»), Водолей (Далв — «ведро»), Рыбы — (Хут — «рыба»).

Арабские названия созвездий Зодиака — частью переводы греческих, частью — древневавилонских названий. Современные названия этих созвездий — переводы с греческого, за исключением Весов, являющихся переводом с арабского.

17. Четыре воображаемые точки эклиптики — это две точки пересечения небесного экватора с эклиптикой, которые называются точками равноденствия (весеннего или осеннего), и две точки эклиптики, в которых Солнце находится в моменты солнцестояний, поэтому их называют точками солнцестояний (летнего и зимнего); они лежат на полпути между точками равноденствия. На рисунке 113 А, С — соответственно точки весеннего и осеннего равноденствия, а В и D — точки летнего и зимнего солнцестояний.

18.  Аль-Фараби, следуя за Птолемеем, в этом положении приводит сведение из тригонометрии хорд греков. Как известно, в «Альмагесте» Птолемей заимствовал у вавилонян деление круга на 360 градусов и шестидесятичные дроби. Роль наших синусов у него играли хорды (см. прим. 44). Птолемей принимает радиус круга за 60 частей (диаметр соответственно   за 120).

19.  Отношение длины окружности к диаметру или «отношение частей диаметра к частям окружности», называемое в настоящее время «числом π», является иррациональным отношением. Истинная природа этого числа ко времени аль-Фараби была еще не выясненной; по-видимому, именно поэтому он не считает уместным затрагивать этот вопрос в своих „Комментариях к «Альмагесту»".

Весьма возможно, что к нему он возвратился в других сочинениях; впрочем, именно аль-Фараби одним из первых на Востоке теоретически обосновал идею расширения понятия числа, фактически рассматривая любое отношение геометрических величин как число (рациональное и иррациональное).

Развивая идею аль-Фараби и других математиков, аль-Бируни в «Каноне Мас'уда» специально рассматривает приближенное значение числа π и высказывает принципиально новое соображение по поводу иррациональности этого числа: «У окружности круга к его диаметру имеется некое отношение, поэтому у числа окружности к числу диаметра также есть отношение, хотя оно и иррациональное»  [10, стр. 271].

Таким образом, если «число диаметра» — натуральное число (по аль-Бируни равно 2), то «число окружности» — число в новом обобщенном смысле, т. е. то, что мы называем    положительным иррациональным числом.

20.  То есть a₆=R.

21.  Евклид, у аль-Фараби Уклидис, знаменитый александрийский математик, жил в IV—III вв. до н. э. «Книга Евклида», называемая аль-Фараби,— это основное произведение Евклида. «Начала» — свод почти всей древнегреческой математики представляет собой обработку сочинений греческих математиков IV в. до н. э. Гиппократа Хиосского (I—IV и XI книги), Архита Тарентского (VII—IX книги), Евдокса Книдского (V, VI и XII книги) и Теэтета Афинского (X и XIII книги).

Равенство a₆=R  доказано Евклидом в 15 предложении IV  книги  «Начал» [12, стр. 140].

22.  Здесь доказывается, что квадрат a₄  равен удвоенному квадрату  радиуса, т. е. a₄=R√2.

23.  Здесь доказывается, что квадрат а₃  равен утроенному квадрату  радиуса, т. е. a₃=R√2.

24.  Следует отметить, что здесь и везде в дальнейшем аль-Фараби систематически применяет к геометрическим величинам арифметические термины «вычитание»,  «умножение»,  «деление», «извлечение корня». Такое словоупотребление было новшеством, введенным математиками IX в. Греческие математики, например, вместо произведения отрезков всегда говорили о «прямоугольнике, построенном на этих отрезках». Многие математики средневекового Востока употребляли в этом смысле выражение «плоскость из А на В».

Аль-Фараби в своих трудах, творчески развивая это перспективное для физико-математических наук начинание багдадских ученых, открыто отождествляет числа и геометрические величины. Оно сыграло большую роль в расширении понятия числа до положительного действительного числа [2, стр. 157—169].

25. Это 6 предложение II книги «Начал» [12, т. 1, стр. 67], которое переводится на алгебраическое тождество:

26. Прямолинейный отрезок называется разделенным в крайнем и среднем отношении, если он относится к большему из отрезков, на которые он разделен, как больший к меньшему. Это построение проводится Евклидом в 11 предложении II книги «Начал» [12, стр. 75]. Это сечение часто называют «золотым сечением». Меньшая часть DG, равная а10, является решением задачи о делении в среднем и крайнем отношении, т. е.   решением   уравнения

27. Это знаменитая теорема Птолемея, которая в современном обозначении пишется так:

28. Здесь показывается, как определить хорду разности двух данных дуг. Птолемей доказывает это несколько иначе. Он пишет: «Изложив это, возьмем полукруг ABCD на диаметре АС, из точки А проведем две прямые — АВ, АС и пусть величина каждой из них будет дана в частях, каких в заданном диаметре содержится 120; затем проведем соединяющую ВС; я утверждаю, что последняя тоже будет данной.

Действительно, проведем   соединяющие ВС и DC, тогда, очевидно, и они будут данными, вследствие того, что каждая из них дополняет до полуокружности. Теперь поскольку в круге имеется четырехугольник ABCD, то, следовательно, произведение ABCD вместе с произведением ADBC равно произведению ACBD.

Но произведение ACBD дано; также дано и произведение ABCD; следовательно, будет данным и произведение ADBC; но AD — диаметр, поэтому будет данной и прямая ВС.

Таким образом, нам стало ясно, что если даны две дуги и стягивающие их прямые, то будет данной и прямая, стягивающая дугу, равную разности двух заданных дуг. Известно, что при помощи этой теоремы мы сможем записать выражения для немалого числа других прямых при помощи разностей заданных основных дуг; таким образом, имея величины прямых, стягивающих 60 и 72 градуса, мы найдем прямую, стягивающую дугу в 12 градусов» [3, стр. 29].

Это доказанное привило равносильно нашей формуле:

sin(α-β) = sinα * cosβ-sinβ * cosα   (см. прим. 44).

29. Здесь показывается, как определить хорду половины данной дуги. Доказанное правило   равносильно   нашей формуле:

2 sin^{2 α}/₂ =1—cosα.

30. Здесь объясняется, как найти хорду суммы двух данных дуг. Доказанное правило равносильно нашей формуле

sin(α+β) = sinα * cosβ+sinβ * cosα.

30а. Имеется в виду невозможность трисекции угла (деление угла на три равные части) с помощью циркуля и линейки.

31.  Доказываемое здесь неравенство равносильно неравенству sinα /cosβ <α/β  если α>β.

32.  В конце доказательства используются вышедшие в настоящее время из употребления обозначения действий над пропорциями. Современная запись будет выглядеть так:

После этого применяется    операция присоединения:

33. Здесь воспроизведено приближенное вычисление Птолемея хорды 1°, которая оказывается больше и меньше 1^р2'50", откуда делается вывод о том, что хорда 1° равна 1^р2'50".

В «Альмагесте» все вычисления, а также результаты записываются в шестидесятеричных   вавилонских   дробях.

Деление градусов, применявшееся астрономами и математиками средневекового Востока: минута — дакика, буквально «уменьшенная», так же, как и латинская minuta — 60-я доля градуса или часа, секунда — санийа — «вторая» (первоначально «вторая уменьшенная»), так же, как латинское secunda — 60-я доля минуты, терция — салиса — «третья», так же, как латинское tertia — 60-я доля секунды,   кварта — раби'а — «четвертая», так    же,    как    латинское quarta — 60-я доля терции.

Шестидесятеричные дроби широко применялись средневековыми астрономами стран ислама и Западной Европы, называвшими арифметику этих дробей «исчислением астрономов».

34. Таблица хорд Птолемея приведена нами в приложениях (таблица 1) к этой работе.

В первом столбце указана дуга, во втором — значение хорды, соответствующей этой дуге. В третьем столбце — «пропорциональные минуты», разность между величинами хорды для данного и предыдущего значения, умноженная на 1/30. Если считать, что между двумя соседними значениями дуги функция зависимости хорды от дуги является линейной, то «пропорциональные минуты» равны приращению хорды за 1'.

35. «Наибольшим склонением» аль-Фараби считает угол, равный максимальному склонению точки эклиптики, которое достигается в точках солнцестояния. Склонение δ точки отсчитывается от небесного экватора по большому кругу, проходящему через эту точку и полюсы мира. Наклон эклиптики ε получается как полуразность полуденных высот Солнца во времена летнего и зимнего солнцестояния.

36. Градусы Зодиака — дараджат ал-бурудж, буквально — «ступень» — 1/360 окружности, в данном случае эклиптики, латинское слово градус — перевод этого слова. Эклиптика делится на 12 «знаков Зодиака» или «зодиакальных созвездий», каждое из которых содержит 30 градусов. Слово бурудж — множественное число от бурдж — «замок».

37. Здесь описываемый инструмент — кольцо на шесте, с помощью которого Птолемей измеряет разности высот солнцестояний, необходимые для определения наклонения эклиптики. Это градуированный круг на подставке, внутри которого вращается малый круг с указателем так, что при помощи тени и указателя можно снимать отсчеты полуденной высоты Солнца. Кольцо — составная часть большинства угломерных инструментов. От латинского названия кольца armilla происходит название древнейшего угломерного инструмента — армиллярной сферы. Кольца или их части, называемые лимбами, являются важнейшими составными частями астролябий, квадрантов    и секстантов.

38.  Астролябия — устурлаб — угломерный инструмент для наблюдения за светилами.

39. Описанный инструмент — градуированный стенной квадрант, установленный в плоскости небесного меридиана. Центром его является шест, укрепленный в его верхнем южном углу.

40. Эратосфен Киренский (275— 135 г. до н. э.) — александрийский ученый-энциклопедист, впервые измеривший радиус земного шара и положивший начало математической географии и хронологии.

41. Гиппарх, у аль-Фараби Ибарх'ус — величайший астроном древности. Родился около 190 г. до н. э. в Никее в Битинии, большинство своих наблюдений проводил на острове Родосе. Автор первого звездного каталога (1028 звезд); при сравнении с наблюдениями звезд, сделанными за 150 лет до него александрийскими астрономами, установил, что долготы звезд не остаются постоянными; таким образом, была открыта прецессия. Гиппарх также определил элементы солнечной орбиты (на основании данных наблюдений вавилонских астрономов) и ввел   в астрономию эксцентрический круг. Работы Гиппарха до нас почти не дошли, но «Альмагест» Птолемея в основном представляет собой обработку его астрономических сочинений.

42. Это знаменитая теорема Менелая о трансверсалях или теорема о полном четырехстороннике.

Плоский полный четырехсторонник можно получить из произвольного четырехугольника продолжением каждой пары его противоположных сторон до пересечения [рис. 114]. Восточные математики, в том числе аль-Фараби, называют ее предложением о «фигуре секущих» (шакл ал-кита'). Плоская теорема Менелая в современных обозначениях имеет вид:

Математики Ближнего и Среднего Востока формулировали эти соотношения с помощью составных отношений:

Менелай — геометр и астроном I в. н. э., работавший в Риме около 100 г. н. э. До нас дошла в арабском переводе «Сферика» Менелая, в которой установлена указанная теорема о трансверсалях, являющаяся основой всей тригонометрии Птолемея.

43. Приведенное здесь доказательство плоской теоремы о секущих у аль-Фараби по существу совпадает с доказательством, приведенным Птолемеем.

Составное отношение впервые встречается у Евклида, который применил его в 23 предложении VI книги «Начал», утверждающем что «равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отношение их сторон» [12, стр. 203].

Составное отношение по современной терминологии представляет собой произведение двух отношений:  там,  где мы сказали бы, что отношение A/B является произведением отношений C/D и  E/F, греческие и средневековые математики  говорили, что отношение A/B "составлено"  из отношений C/D и  E/F.

44. Аль-Фараби несколько совершенствует тригонометрический аппарат Птолемея для облегчения понимания трудных математических выкладок, имеющихся в этом труде. Прежде всего он заменяет хорды синусами:  «Синус есть половина хорды удвоенной дуги». Слово джиб-синус является арабской транскрипцией индийского слова jiva — «тетива, хорда», сокращением выражения ard-jiva — «полухорда». Наш термин «синус» происходит от латинского слова sinus — «впадина, пазуха», являющегося буквальным переводом арабского слова джайб; был введен средневековыми латинскими переводчиками арабских астрономических трактатов.

Если BD — хорда дуги BD=2α [рис. 115], то ВС — линия синуса дуги АВ=α, т. е. sinα=¹/₂chd2α. Это одно из первых известных нам введений синуса при комментировании Птолемея. Далее при изложении «Альмагеста» аль-Фараби всюду заменяет хорду дуги 2α синусом дуги а, в частности, он переформулирует упомянутую выше теорему Менелая о секущих, которая служила у Птолемея основным средством для решения сферических треугольников. Хотя такая замена сама по себе кажется не столь существенной, однако переход от хорды к полухорде благоприятствовал широкому введению в астрономии различных функций, связанных со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

В «Книге приложений» аль-Фараби одним из первых все основные тригонометрические линии  рассматривает единообразно в тригонометрическом   круге [1,стр. 73—74].

45. Эта лемма равносильна плоской теореме синусов для произвольного треугольника, вписанного в круг. Аль-Фараби одним из первых доказывает ее для прямоугольного треугольника. Первое общее доказательство этой теоремы принадлежит Ибн Ираку, учителю аль-Бируни.

46. Здесь аль-Фараби, следуя Мене-лаю и Птолемею, приводит доказательства предпосылки об определении двух дуг по их сумме или разности и отношению полухорд этих удвоенных дуг. В последнем случае, т. е. при доказательстве предпосылки об определении дуг по их разности, аль-Фараби приводит случай, когда хорда разности двух дуг параллельна диаметру, который отсутствует у Менелая и Птолемея. Это необходимо для доказательства сферической теоремы Менелая, когда диаметр сферы параллелен одной из хорд сторон фигуры секущих, лежащих в плоскости диаметра.

47. Эта сферическая теорема Менелая для «фигуры секущих», полученная на сфере аналогично плоской «фигуре секущих»  [рис. 116] :

48.  Единичное отношение  (нисба ва-хида) — отношение двух равных    величин, то есть — A/A.

49.  Сферическую теорему о секущих аль-Фараби доказывает как Менелай, рассматривая три случая, а не как Птолемей, который ограничился только одним случаем.

Заметим, что при доказательстве этой теоремы аль-Фараби добавляет также к тексту две предпосылки для разъяснения сущности действия составления отношений.

50.  Склонение (майл) — одна из экваториальных координат точки на небесной сфере, отсчитываемое по большому кругу, проходящему через полюсы мира. Здесь под склонением имеется в виду угол между эклиптикой и небесным экватором, равный максимальному склонению точек эклиптики. В настоящее время этот угол называется наклонением экватора к эклиптике и обозначается буквой Е, а термин «склонение» применяется ко всем точкам небесной сферы, а не только к точкам эклиптики.

51.  Круг, проходящий через четыре полюса, большой круг небесной сферы, являющийся общим перпендикуляром небесного экватора и эклиптики. Этот круг проходит через точки солнцестояния, вследствие чего его называют колюром солнцестояния.

52. Из теоремы Менелая являющееся частным случаем теоремы синусов для прямоугольного треугольника. Птолемей не дает непосредственного доказательства, которое приведено аль-Фараби в конце „Комментариев к «Альмагесту»" и в «Книге приложений» (26 глава).

Учитывая, что наклон эклиптики АВ — ε, эклиптическая долгота ЕН—λ и склонение градуса эклиптики HF—δ, из соотношения (1) получим формулу:

sinδ = sinλ · sinε.

53. Аль-Фараби, по-видимому, обобщая операции, примененные Птолемеем над составными отношениями, каждое отношение тригонометрических линий рассматривает как число. Он считает, что каждое из трех отношений, участвующих в составном отношении, имеет определенное числовое значение, и предлагает произвести арифметические действия над этими числами.

Первые шаги в этом направлении были сделаны еще в позднеэллинскую эпоху одним из комментаторов Евклида (по-видимому, Теоном), добавившим к «Началам» и так называемое пятое определение VI книги — определение «составного отношения»: «Говорится, что отношение составляется из отношений, когда количества этих отношений, перемножаемые между собой, образуют нечто» [12, стр. 174].

Смысл этого определения стал понятен математикам только после работ аль-Фараби и особенно аль-Бируни.

В «Науке звезд», определяя составное отношение, в частности, он пишет: «Иногда вместо составления говорят о перемножении».

Во II главе V книги «Канона Мас'уда», рассматривая составные отношения, выражающие эту же теорему Менелая, аль-Бируни писал об одном из отношений, входящих в эту теорему: «Если разделить синус FC на синус СВ, получится то, что относится к единице, как синус FC к синусу СВ» [10, стр 477], и, вводя аналогичные величины для двух других из этих отношений, говорил, что «одна из этих величин является произведением двух других». Эти величины, по существу, совпадают с «количествами отношений», о которых идет речь в упомянутом определении составного отношения в «Началах» Евклида и «числом отношения» аль-Фараби.

Теория составных отношений и привела впоследствии Омара Хайяма (1048—1131) к явному расширению понятия числа до положительного действительного числа. Он обобщает способ определения числовой величины отношения тригонометрических линий на отношение любых однородных непрерывных величин.

54. Чтобы показать различия стилей изложений Птолемея и аль-Фараби, приводим это место из «Альмагеста», так как это характерно для всех доказательств предложений «Альмагеста»: «О дугах, заключенных между равноденственными к наклонными кругами: доказав изложенную выше теорему, сначала вычислим упомянутые дуги таким образом. Пусть ABCD — большой круг, проведенный через полюсы кругов — равноденственного, [т. е. небесного экватора] , через середины зодиакальных созвездий, [т. е. эклиптики], АЕС — полуокружность равноденственного круга, a BED — половина круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий;  пусть точка    Ε представляет    их пересечение, соответствующее весеннему равноденствию, так что В будет точкой зимнего, а D — летнего солнцеворотов. На окружности ABC возьмем полюс равноденственного круга АЕС, допустим, что он будет в точке G. На круге, проходящем через середины зодиакальных созвездий, возьмем дугу ЕН, равную 30 таким частям, каких во всем круге 360; через точки G и H проведем дугу GHF большого круга и поставим задачу определить величину HF. При этом здесь и вообще во всех подобных вычислениях во избежание повторений будем в каждом отдельном случае предполагать, что говорится о численной величине дуг или прямых, выраженных в градусах, или частях; относительно дуг будет говориться о таких частях, которых в окружности большого круга содержится 360, а относительно прямых — о частях, каких в диаметре круга 120.

Так как на чертеже в две дуги AG и АЕ больших кругов вписаны две другие — GF и ЕВ, пересекающие друг друга в точке Н, то отношение прямой под удвоенной дугой GA и прямой АВ складывается из отношения прямой под удвоенной FG к прямой под удвоенной FH и отношения прямой под удвоенной НЕ к прямой под удвоенной ЕВ. Но удвоенная дуга GA равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая — 120 частям, удвоенная же дуга АВ в соответствии с принятым нами отношением 83 к 11 равна 47; 42,40 градусам, а стоящая под ней прямая — 48; 31,55 частям. И далее удвоенная дуга НЕ равна 60 градусам, а стоящая под ней прямая — 60 частям, удвоенная же дуга ЕВ равна 180 градусам, а прямая под ней — 120 частям; следовательно, если из отношения 120 к 48,31,55 мы выделим отношение 60 к 120, то останется отношение прямой под удвоенной дугой GF к прямой под удвоенной FH, а именно — 120 к 24,15,57. Удвоенная дуга GF равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая — 120 частям; следовательно, прямая под удвоенной дугой FH равна 24; 15,57 таким же частям; таким образом, удвоенная дуга FH равна 23; 19,59 градусам и сама FH — приблизительно 11; 40 таким же градусам.

Теперь предположим, что дуга ЕН равна 60 градусам, а все остальное остается таким же; тогда удвоенная дуга ЕН становится равной 120 градусам, а прямая под ней — 103; 55,23 частям. Следовательно, если мы опять из отношения 120 к 48; 31,55 выделим отношение 103; 55,23 к 120, то останется отношение прямой под удвоенной GF к прямой под удвоенной FH, то есть отношение 120 к 42; 1,48. Но прямая под удвоенной FH составляет 120 частей; тогда прямая под удвоенной FH будет равна 42; 1,48 частям, следовательно, удвоенная дуга FH равна 41 ;0,18 градусам, FH равна 20; 30,9 таким же градусам, что и требовалось показать [3, стр. 51—53].

55. Таблица склонения Птолемея приведена нами в приложениях (таблица 2).

56. Прямая сфера (по латыни sphaera recta) — положение небесной сферы на земном экваторе. В этом случае оба полюса неба (точки Ρ и Р') находятся на горизонте, а небесный экватор проходит через зенит и надир {Ζ и Ζ'). Термин «прямая сфера» объясняется тем, что в этом случае все суточные параллели перпендикулярны к горизонту.

56а. Восхождение градуса эклиптики — градус («Заман») небесного экватора, восходящий вместе с этим градусом эклиптики. Сокращением выражения «восхождение в прямой сфере» (т. е. на земном экваторе) является современный термин «прямое восхождение», означающее одну из экваториальных координат, отсчитываемых по небесному экваториальному кругу от точки весеннего равноденствия.

57.  Наклонная сфера (по латыни sphaera oblique) — положение небесной сферы, наблюдаемое на промежуточной широте (между экватором и полюсом). В этом случае полюс неба Ρ находится на высоте φ, равной широте местности. Термин «наклонная сфера» объясняется тем, что в этом случае все суточные параллели наклонены к горизонту. На земном полюсе неба Ρ совпадает с зенитом Ζ и все неподвижные звезды движутся по кругам, параллельным горизонту, поэтому в этом случае небесная сфера называется «параллельной сферой» (sphaera parallela).

58. Здесь рассуждения аль-Фараби более обширны, чем у Птолемея, который ограничился весьма сжатым объяснением цели трактуемой темы. Для сравнения приводим его: «После этого следует определить числовые величины дуг равноденственного круга, получающихся в пересечении его с кругами, проведенными через его полюсы и заданные конечные точки отрезков на косом  кругу;   таким  образом,  мы  будем иметь выраженные в равноденственных часах времена прохождения через меридиан отдельных частей круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий, одинаковые для всех местностей, а также через горизонт на прямой сфере вследствие того, что только в этом случае он проходит через полюсы равноденственного круга» [3, стр. 53]. Как видно, Птолемей в отличие от аль-Фараби в этой главе совершенно не затрагивает случая наклонной сферы.

59.  Из-за трудночитаемости рукописи перевод последнего абзаца следует считать приблизительным.

60. В этом предложении приведен метод определения прямых восхождений точек эклиптики, для чего из теоремы Менелая оно является теоремой   тангенсов    для прямоугольного сферического треугольника.

Птолемей не дает его непосредственного доказательства, которое одним из первых дал аль-Фараби в «Книге приложений» (26 глава). Учитывая, что наклон эклиптики АВ—ε, склонение градуса эклиптики FH—δ и прямое восхождение точки эклиптики ЕН — α, из соотношения (2) получим формулу:

61. Приводим эту таблицу из «Альмагеста». «Таким же образом, следуя указанному методу для каждого десятиградусного отрезка косого круга, мы вычислим имеющее с ним одинаковое время прохождения дуги равноденственного круга; мы сделали это по той причине, что для дуг с меньшим числом градусов мы не будем иметь существенных отличий от равномерного возрастания разностей. Мы укажем и эти дуги, чтобы иметь под рукой времена, в какие каждая из них проходит через меридиан, как мы сказали, для всех местностей и через горизонт на прямой сфере, взяв начало десятиградусных отрезков в точке весеннего равноденствия.

Итак, первый отрезок 9; 10 временных градусов, второй 9; 15, третий 9; 25, таким образом, для первой двенадцатой части получается вместе 27; 50 временных градусов. Четвертый отрезок содержит 9; 40, пятый 9; 58, шестой 10; 16 временных градусов; таким образом, вторая двенадцатая часть имеет 29; 54 временных градусов. Седьмой отрезок содержит 10; 34 временных градусов, восьмой 10; 47, девятый 10; 55, так что опять у третьей двенадцатой части при точках солнцеворота получается 32; 16 временных градусов, а для всего квадранта — соответственно девяносто.

Сразу же становится ясным, что для остальных квадрантов весь порядок оказывается таким же, ибо для каждого из них все происходит одинаково, поскольку мы предполагаем сферу прямой, то есть равноденственный круг, не имеющий никакого наклона к горизонту» [3, стр. 57].