Ю. А. Белый

Иоганн КЕПЛЕР

1571-1630

Глава восьмая

Кеплер-математик. «Стереометрия винных бочек»

С 1594 г. Кеплер имел официальное звание математика: штирийский провинциальный математик с 1594 по 1600 г., императорский математик с 1601 г. до конца жизни и, кроме того, математик провинции Верхней Австрии с 1643 по 1628 г. В те времена объем понятия «математика» был значительно шире, чем в наше время. Так, в «Математическом словаре» французского академика Ж. Озанама, изданном в 1691 г.¹, кроме традиционных арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, в круг математических предметов включены были также механика с гидростатикой, архитектура и фортификация, география и навигация, астрономия, оптика и перспектива, а также музыка. Таким образом, уже научная деятельность Кеплера в области астрономии и оптики, бывшая предметом рассмотрения в предыдущих главах, вполне оправдывала его звание.

Но Кеплер оставил после себя выдающиеся результаты и в математике в ее традиционном для нас содержании. При этом в его работах математического характера отчетливо прослеживается воздействие, которое оказывали на формирование новых математических идей и методов потребности точного естествознания, в особенности астрономии, механики и физики, а также то, как математика в его время становилась мощным инструментом изучения и открытия закономерностей и свойств окружающего мира.

Наиболее существенные результаты были достигнуты Кеплером в двух областях математики, общим у которых было, пожалуй, только то, что в течение по крайней мере восемнадцати веков, со времен древних греков,  здесь наблюдалось почти полное затишье. Одной из них была математика переменных величин, другой — теория правильных многоугольников и многогранников.

Следует также отметить вклад Кеплера в теорию конических сечений, введение им понятия бесконечно удаленной точки, что было важным шагом на пути к созданию проективной геометрии. Особого рассмотрения требует его вклад в теорию и практику вычислений, связанный как с астрономическими расчетами, так и с самостоятельными исследованиями по совершенствованию средств вычисления, разработкой теории логарифмов, составлением собственных логарифмических таблиц, наконец, с его ролью в изобретении первой вычислительной машины. Не следует забывать и о его имевшей большое значение деятельности по созданию и совершенствованию математической терминологии как в латинском, так и в немецком научном языке.

Как и в истории естествознания вообще, в истории математики XVII век занимает особое место. И связано это прежде всего с началом нового периода в развитии этой науки — периода математики переменных величин.

Уже к концу XVI в. алгебра, геометрия и тригонометрия. составлявшие математику постоянных величин, накопили достаточно сведений, чтобы представлять собой определенную систему знаний, хотя еще многое было неясно, многое не завершено, и исследования во всех разделах математики постоянных величин продолжались (как продолжаются и в наше время).

С начала XVII в. математические методы, разработанные в предыдущие времена, все энергичнее внедряются в различные разделы естествознания и прежде всего — в механику как земную, так и небесную. Но еще в «Новой астрономии» Кеплеру, как уже упоминалось, пришлось встретиться с задачей, которая, вообще говоря, решению методами математики постоянных величин не поддавалась.

Мы помним, что еще в 1600 г. Кеплер, используя данные многолетних астрономических наблюдений Тихо Браге, приступил к поискам закономерностей в обращении планеты Марс вокруг Солнца. Еще на раннем этапе своих исследований он нашел в себе мужество отказаться от освященной веками аксиомы равномерного движения планет и из физических соображений предположил, что планеты перемещаются по своим орбитам быстрее, когда они ближе к Солнцу, и медленнее — в удалении от него. При этом сами орбиты оставались у него пока окружностями, но со смещенным относительно их центра Солнцем. Предстояло выразить математически зависимость между расстояниями планеты от Солнца и временем, в течение которого проходится тот или иной участок пути.

В ходе поисков решения поставленной перед собой задачи Кеплер пришел к мысли вместо длины дуги, пройденной планетой за определенное время, рассматривать площадь, ограниченную радиусами-векторами начала и конца рассматриваемой дуги. Свой подход к одной из первых, если не первой задаче математики переменных величин, выраженной в явной форме в новое время, Кеплер описывает так:

«Итак, поскольку промежутки времени, необходимые для того, чтобы планета прошла равные части эксцентрической окружности относятся как расстояния этих частей от эксцентра, а для отдельных точек всей полуокружности эти расстояния изменяются, мне пришлось приложить немалые усилия, чтобы установить, как можно найти суммы отдельных расстояний. Дело в том, что, не зная суммы всех частей, а их имеется бесконечно много, мы не можем установить и отдельных соответственных промежутков времени, вследствие чего мы не знаем уравнения. Ибо любая часть суммы расстояний относится к соответственному времени, как сумма всех расстояний — к полному времени обращения.

А поэтому я начал с того, что разделил эксцентрическую окружность на 360 частей, которые оказались как бы наименьшими частичками, и предположил, что внутри каждой такой отдельной частички расстояния не изменяются. Затем...я определил расстояния от эксцентра до начала каждой части, или градуса, и просуммировал их...

Так как это вычисление было механическим и тягостным, и с его помощью уравнение для любого отдельного градуса не могло быть вычислено без привлечения других, мне пришлось подумать об иных средствах. Так как я сознавал, что на эксцентрической окружности имеется бесконечно много расстояний, мне пришла в голову мысль, что все эти расстояния содержатся в площади эксцентрического круга.

Тут я вспомнил, что таким образом некогда Архимед разбивал круг на бесконечное количество треугольников, отыскивая отношение длины окружности к диаметру: именно в этом был сокровенный смысл его косвенного доказательства. Итак, вместо того, чтобы делить на 360 частей окружность, как я это делал сначала, я разделил на то же число частей площадь эксцентрического круга, проводя лучи из точки, из которой вычисляется эксцентриситет.

Пусть AB (см. рисунок) — линия апсид, А — Солнце (или по Птолемею Земля), В — центр эксцентрической окружности, полуокружность которой CD разделена на равные частя CG, GH, НЕ, EJ, JK, KD. Соединим точки А и В с точками деления. При этом АС будет наибольшее расстояние, a AD — наименьшее; другие по порядку AG, АН, АЕ, AJ, AK.

Так как треугольники имеют равные высоты и основания, и секторы, или треугольники, CBG, GBH и остальные расположены на мельчайших и потому не отличимых от прямолинейных отрезков частицах окружности, все они имеют равные высоты и стороны (бедра, cruribus) ВС, BG, ВН, следовательно, все они равны между собой. Но все эти треугольники содержатся в площади CDE, а в окружности CED содержатся все дуги или основания. Поэтому при сложении получается, что как площадь CDE относится к дуге CED, так площадь CBG к дуге CG, и, при перестановке, как дуга СED к   последовательно  расположенным дугам CG, СH и т. д., так площадь CDE к площадям CBG, CBH и т. д. Отсюда не будет ошибкой, если поставить в соответствие для углов эксцентрической аномалии CBG, СВН площади CGB, СHВ.

Если теперь точка В соединена прямыми, расположенными в площади полукруга CDE, с бесконечным количеством частей [полу-] окружности и с бесконечным количеством частей дуги CH, расположенных в площади СВН, то это тот же случай, но так же с прямыми, проведенными из А к тем же частям окружности и дуги. Поскольку, наконец, как прямые, проведенные из А, так и прямые, проведенные из В, заполняют один и тот же полукруг CDE, то выходящие из А отрезки будут как раз теми расстояниями, сумма которых ищется. Мне представилось возможным сделать вывод, что вычислением площадей САН или САЕ будет получена сумма бесконечно многих расстояний к СH или СЕ, и не потому, что бесконечное может быть пройдено всплошную, но поскольку я полагал, что эта площадь содержит меру для совокупности того, что дают расстояния, сложенные но отношению к промежуткам времени, так что мы эту меру могли бы получить, узнав площадь, без вычисления наименьших частей...

И все же в моем методе скрывается паралогизм [ложное заключение], которое, правда, не имеет большого значения. Его происхождение заключается в следующем: Архимед хоть и разбивал круг на бесконечно много треугольников, но на такие, которые располагались под прямыми углами к окружности, так как их вершины были расположены в центре окружности В. Однако для расположенных в окружности треугольников с вершиной в А отношение не остается тем же, так как окружность пересекается всеми прямыми, проведенными из А (кроме проходящих через точки С и D), косо [не ортогонально].

Ошибка  [погрешность] может быть обнаружена.

Проведем через В прямую (только не CD), пересекающую окружность, например EF, и соединим точки пересечения Ε и F с А. Так как точка А не лежит на отрезке EF, EAF образует фигуру, некоторый треугольник. Поэтому ΕА и AF вместе больше, чем EF (предл. XXII I кн. Евклида). Но площадь круга заключает сумму всех отрезков EF, то есть сумму, которая меньше чем все ЕА и AF, взятые вместе, так как всегда из двух диаметрально противоположных точек на эксцентрической окружности и точки А образуется такой треугольник (кроме точек С, D и А, где вместо треугольника образуется прямая)...

И так как в наше время имеются отличнейшие геометры, которые подчас долго потеют [перерабатываются, desundat] над вещами явно малоценными [представляющими ограниченную ценность], то я призываю их всех вместе и каждого в отдельности помочь мне отыскать площадь, равноценную совокупности расстояний. Геометрически (в широком смысле слова) я эту задачу решил, но пусть научат меня, как то, что я получил с помощью геометрической фигуры, можно определить численно; более того, пусть покажут мне, как вычислить площадь найденной мной фигуры. Разворачивают полуокружность CED в прямолинейный отрезок и делят его точками G, H, Е, J, К на столько же частей, как и прежде. Из точек деления восстанавливают перпендикуляры, равные радиусу СВ, и замыкают прямоугольник [см. рисунок]. Он вдвое больше, чем треугольник, с помощью которого Архимед измеряет площадь полукруга. Следовательно, если таким образом из отдельных секторов образуются отдельные прямоугольники, то образующийся при этом из отдельных прямоугольников целый прямоугольник равновелик всей площади полуокружности: всюду, разумеется, господствует отношение два к одному.

Таким же образом откладывают расстояния CA, GA и т. д. и соединяют точки А между собой, при этом по отдельным точкам (которых имеется бесконечно много) вычерчивается конхоида AAAA; фигура AACD равновелика совокупности расстояний из А. Потому, что подобным образом из отдельных отрезков AG и АН образуется фигура, которая является «почти прямоугольником», но только конхоида не параллельна к CD, а наклонена к радиусам GA, НА, ΕА, как наклонены в самом круге расстояния к окружности. Так то, что конхоида АА длиннее, чем полуокружность CD, не является помехой»².

Итак, решая поставленную перед собой задачу, Кеплер приходит к мысли вместо длины дуги, пройденной планетой за известное время, рассматривать площадь, ограниченную радиусами-векторами начала и конца этой дуги.

Кеплер считает, что в площади содержится бесконечно много расстояний, под которыми он подразумевает соответственные радиусы-векторы. Именно это дало повод многим современникам Кеплера, а также и более поздним ученым упрекать его за то, что он составлял площадь из линий. Но, как справедливо отмечает М. Я. Выгодский, упрек основан на «неумении отличить форму выражения идеи от самой идеи. Что эта форма выражения не обладает большой четкостью,— это верно, и несколько позднее Паскаль указал на необходимость ее уточнения и показал, как это сделать»³.

Фактически Кеплер сводит здесь дело к суммированию бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Этот инфинитезимально-атомистический подход к решению сложной практической задачи представляет собой важный шаг в предыстории математического анализа. Этот шаг был сделан в самом начале XVII в. Именно Кеплер, ученый, в деятельности которого переход от старых форм мышления и научного творчества к новым был особенно ярким и наглядным, оказался первым естествоиспытателем, который стал и создателем и потребителем качественно новых математических знаний, первым предвестником наступления нового периода в развитии математики — периода математики переменных величин.

В чем же собственно заключалось достижение Кеплера?

Еще в древней Греции некоторые задачи на вычисление площадей и объемов решались так называемым методом исчерпывания, сущность которого заключалась в том, что рассматриваемая фигура или тело разбивались на части, каждая из которых заменялась вписанными или описанными фигурами (телами), площади (или объемы) которых могли быть вычислены непосредственно. Затем ограничивающие описанные и вписанные объекты подвергали постепенному изменению так, чтобы разность их площадей (или объемов) могла быть сделана сколь угодно малой. Вычисление размеров описанных и вписанных фигур позволяло определить размер заключенной между ними рассматриваемой фигуры. Этот метод древних опирался на интуитивное, строго не определенное понятие площади (объема), не использовал в явном виде понятия предела (хотя по существу предельный переход имел место), интеграла, бесконечной суммы и т. д. и применялся индивидуально для каждой конкретной задачи. Быть может, особенной слабостью античных инфинитезимальных методов было недостаточное развитие самих средств вычисления, ограничивавшихся правилами суммирования арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов натуральных чисел и еще немногих других⁴.

С помощью античного метода исчерпывания был решен ряд интересных и важных задач. Тем не менее возможности его были весьма ограничены, и применявшийся в нем тяжеловесный синтетический аппарат приведения к нелепости допущения, что искомая величина не может быть ни менее, ни более некоторой данной (находимой с помощью предельного перехода), сам по себе не был пригоден для раскрытия новых закономерностей и использовался для подтверждения правильности результатов, полученных средствами, часть которых впоследствии была утрачена и ученым XVII в. оставалась неизвестной.

Для новых достижений следовало, по словам Г. Г. Цейтена, применить более легкое, хотя и менее отточенное оружие. Это и было сделано Кеплером.

Задача, поставленная и решенная здесь Кеплером, может быть легко переведена на язык математического анализа. В самом деле, пусть радиус эксцентрического круга (т. е. радиус орбиты) равен 1, AB = е — эксцентриситет; АН = r — длина радиуса-вектора Солнце — Марс, β — соответствующий центральный угол (см. рисунок).

сознавая при этом, что «площадь является мерой совокупности того, что дают расстояния при суммировании промежутков времени»⁵. «Шаг за шагом,— пишет по этому поводу известный знаток творчества Кеплера М. Каспар,— можно установить совпадение хода мыслей Кеплера с формульным исчислением Лейбница. Идея налицо, не хватает только адекватного средства выражения»⁶.

Заслуживает упоминания также то обстоятельство, что, формулируя свою задачу и призывая крупнейших математиков того времени дать ее строгое решение, Кеплер одним из первых ставит задание, ведущее к решению дифференциального уравнения.

Решение данной задачи для случая эксцентрической окружности привело Кеплера уже в 1602 г. к чрезвычайно важному, как в теоретическом, так и в прикладном отношении, результату — к открытию второго закона движения планет: «Площади, описываемые радиусами-векторами планета — Солнце в равные промежутки времени, равны между собой». Только через три года (в 1605 г.) Кеплер открывает первый закон: «Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце».

Поставленная Кеплером задача определения секториальной площади с чисто математической стороны и для этого случая оставалась без существенных изменений. В самом деле секториальная площадь AFM (см. рисунок) при всех положениях точки Μ пропорциональна секториальной площади AFN, где точка N лежит на окружности, построенной на большей оси эллипса AMВ как на диаметре, MC — перпендикуляр к большой оси, точка N — пересечение перпендикуляра с окружностью. Весьма простое доказательство положения о постоянстве отношения рассматриваемых площадей для окружности и эллипса было достаточно элементарным и для Кеплера.

С этой же задачей связано и так называемое уравнение Кеплера, одно из первых трансцендентных уравнений у европейских математиков — математикам арабского Востока эта задача вместе с итерационным алгоритмом ее решения была известна значительно раньше, впервые она встречается еще у Хабаша ал-Хасиба (ок. 770 — ок. 870 г.)⁷. Оно рассматривается Кеплером в конце XZ главы «Новой астрономии». Снова обращаясь к математикам, он настоятельно предлагает им решить задачу: «Если дана площадь части полукруга, а также точка на его диаметре, определить дугу и угол при этой точке, чтобы стороны угла и дуга заключали данную площадь. Или: из данной на диаметре полукруга точки провести луч так, чтобы он делил площадь полукруга в заданном отношении»⁸.

Выразим условие аналитически: пусть Е — данная на диаметре  (отличная от центра)  точка, С —центр круга,

Сам Кеплер ограничился приближенным решением этой задачи, достаточным для его целей, но тут важно, что он понимал все своеобразие этого, по современной терминологии, трансцендентного уравнения. Оно «не допускает априорного решения вследствие гетерогенности [разнородности] дуги и синуса»⁹.

Предложенная Кеплером задача дала толчок многочисленным исследованиям и вызвала уже до начала нашего столетия появление свыше сотни научных работ, среди авторов которых было немало и математических звезд первой величины. Распространенное на случай эллипса, это уравнение получило важные применения в астрономии при определении элементов эллиптической орбиты планет. Его решением еще в XVII в. занимался И. Ньютон (1687), затем Ж. Лагранж (1771), В. Бессель (1816—1817), П. Лаплас (1823), К. Ф. Гаусс (1809), О. Коши (1854), М. Окань (1894) и другие. Всего в течение XVIII в. его решению было посвящено около 25 работ, в XIX в.— втрое больше¹⁰, решение этого уравнения привлекает внимание астрономов и математиков и в наше время.

Разработка различных способов решения этого уравнения оказала влияние на развитие теории ряда Лагранжа, асимптотических формул, функций Бесселя, разложения функций в тригонометрические ряды и метода итераций.

В «Новой астрономии» можно обнаружить и другие задачи, которые решаются Кеплером методом приближенного интегрирования. Так, он устанавливает, что сумма синусов всех углов от 0 до некоторого определенного значения φ пропорциональна синусу-верзусу φ (sin vers φ = 1 — cos φ). В современной символике этот его результат может быть представлен так:

В LIX главе «Новой астрономии» Кеплер рассматривает задачу о спрямлении эллипса, т. е. нахождении длины его дуги. В предложении V он говорит, что «длина всего эллипса очень близка к среднему арифметическому между длиной окружности с большим радиусом (т. е. радиусом, равным большей оси эллипса) и окружности с меньшим радиусом»¹². Это правило Кеплера вызвало многочисленные нарекания более поздних ученых вследствие его принципиальной неточности. Но Кеплер применял его для нахождения длин эллиптических планетных орбит, эксцентриситет которых весьма мал. Простой расчет показывает, что найденное по этому правилу выражение для длины эллипса примерно на  ¹/₃₂πе⁴  превышает ее истинное значение: при эксцентриситете орбиты Марса е = 0,093 ~ 0,1 относительная погрешность не превосходит 0,001%. Таким образом, применение Кеплером этого результата для нахождения длин эллиптических орбит планет (для которых эксцентриситет достаточно мал) и их частей было вполне допустимым.

Задачи из «Новой астрономии» были лишь первым его шагом в развитии математики переменных величин. Следующим шагом была книга «Nova stereometria doliorum vinariorum... accesit Stereometriae Archimedae Supplementum» («Новая стереометрия винных бочек... с присоединением дополнения к Архимедовой стереометрии»)¹³. Книга эта заняла видное место в истории математики и, кстати, является единственным произведением Кеплера. полностью переведенным на русский язык¹⁴. Книга вышла в Линце в 1615 г., но написана она была почти на два года раньше, и послужил этому весьма любопытный повод, известный по словам самого Кеплера.

Осенью 1613 г. в Верхней Австрии был собран особенно обильный урожай винограда. Многочисленные суда и баржи, груженные вином, уходили вверх по Дунаю, а пристань в Линце все еще была забита бочками. Только что начав жизнь с новой женой Сусанной, Кеплер как заботливый муж и глава семьи решил запастись приятным напитком. Бочки с вином были доставлены к нему на двор, а затем появился купец и с помощью единственного инструмента — мерной линейки, стержня с   делениями, быстро измерил количество вина в каждой из бочек без всяких вычислений и учета формы бочек. Он вставлял линейку в наливное отверстие бочки вплоть до упора  в нижний край днища, после чего объявлял количество амфор (сосудов, принятых за меру емкости) в ней.

Кеплер был очень удивлен этим: каким образом наклонный отрезок между двумя определенными точками может служить мерой вместимости бочки. Он даже усомнился в правильности такого метода измерения, так как представлялось, что очень низкая, а потому и маловместительная бочка, ограниченная широкими днищами, могла иметь такое же расстояние до нижней точки днища, как и более высокая бочка с менее широкими днищами, но явно более вместительная. Обоснованно ли такое определение вместимости? Тем более Кеплер вспомнил, что севернее, на Рейне, вместимость бочек определялась либо непосредственным подсчетом количества единиц меры емкости при переливании, либо производили многочисленные замеры размеров бочки, после чего в результате громоздких и утомительных вычислений объявляли ее емкость, хотя многим этот способ казался ненадежным.

Узнав, что употребление мерной линейки санкционируется здесь властями, Кеплер «счел для себя подходящим взять новый предмет математических занятий и исследовать геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в хозяйстве измерения, а также выяснить его основания, если таковые имеются»¹⁵.

Уже к концу того же года после нескольких недель работы было готово сочинение о результатах этого исследования, и Кеплер отправил его для издания в Регенсбург, так как в это время в Линце еще не было ни одной типографии. Однако издатель, к которому Кеплер обратился, вскоре сообщил, что, по мнению книгоиродавцов, предложенное Кеплером сочинение, к тому же написанное на латинском языке, пользоваться спросом не будет, и субсидировать издание отказался. Рукопись надолго застряла в Регенсбурге, и Кеплер вспомнил о ней только тогда, когда при его участии весной 1615 г. в Линце была создана типография, и представилась таким образом возможность издать сочинение на месте. Не без затруднений (издатель, которому была направлена рукопись, к тому времени умер) удалось разыскать и вернуть рукопись в Линц. Кеплер подвергает ее существенной переработке, а также дописывает новую, очень важную главу «Дополнения к Архимеду». Уже осенью 1615 г. «Новая стереометрия винных бочек» — первая книга, напечатанная в Линце, поступила в продажу на ярмарке в крупнейшем тогдашнем центре книготорговли — Франкфурте.

Ее издание было предпринято Кеплером за свой счет. Пытаясь хотя бы частично покрыть понесенные расходы, он обращается к своим друзьям с просьбой рекомендовать его книгу заинтересованным лицам и учебным заведениям. О спросе на математическую литературу в то время свидетельствует письмо к Кеплеру гданьского математика Крюгера, в котором он пишет, что во всей округе видит лишь трех потенциальных покупателей: своего кёнигсбергского коллегу, кёнигсбергскую библиотеку и некоего дворянина по фамилии Невешинский¹⁶.

Местные власти отнестись к проделанной Кеплером работе весьма холодно, недвусмысленно дав ему понять, что было бы лучше «эту работу оставить, а довести до конца более важные вещи, такие, как порученные ему «Рудольфинские таблицы» и географическую карту»¹⁷.

Однако Кеплер не внял этому весьма категорическому совету и взялся за переделку своей книги, ставя на этот раз целью сделать ее доступной для широких кругов людей, нуждающихся в разработанных им приемах в своей практической деятельности, но не знающих латыни и не разбирающихся в тонкостях математики. С этой целью Кеплер упрощает изложение, меняет последовательность расположения материала, прилагает сведения о системах мер, древних и употреблявшихся в то время, а также таблицы их перевода из одной в другую, но главное — он переводит свое сочинение на немецкий язык.

Последнее обстоятельство было очень важным, поскольку научных книг на немецком языке тогда   издавалось мало, а математическая терминология почти не была разработана. Поэтому значение появившейся уже весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте книги под названием: «Außzug auss der uralten Messekunst Archimedis», т. е. «Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда...»¹⁸, состоит не только в привлечении внимания к возможностям математических методов широких слоев населения, но и в выполненной здесь большой работе по созданию немецкой математической терминологии. Этим самым, а также изданием нескольких трактатов астрономического содержания на родном языке (и подготовкой нескольких рукописей, оставшихся неизданными) Кеплер внес существенный вклад в развитие языка немецкой естественно-научной литературы. Впрочем многое было сделано им и для развития латинской научной терминологии.

Но обратимся к содержанию «Новой стереометрии». Книга состояла из трех частей, которым предпосылались посвящение и предисловие.

В предисловии Кеплер пишет: «Поскольку... винные бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром — фигурами правильными — тем самым они поддаются геометрическим измерениям, принципы которых стоит привести в начале настоящего исследования, как они установлены Архимедом, конечно лишь настолько, насколько этого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а полные и во всех частях строгие доказательства следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути их чтения. Впрочем, на некоторых местах, которые не затронул Архимед, нужно остановиться поподробнее, чтобы и более ученые люди нашли чем воспользоваться и чему порадоваться»¹⁹. Таким образом Кеплер подчеркивает, что в силу практической направленности своего труда он не задерживается на положениях своего великого предшественника, отсылая более требовательных читателей к первоисточникам, но здесь же он говорит и о том, что выходит за пределы достигнутого Архимедом.

Первая часть сочинения, озаглавленная «Стереометрия правильных кривых тел», в свою очередь состоит из двух частей, в первой из которых — «Архимедовой стереометрии» Кеплер приводит 16 теорем, известных еще Архимеду, но различие в подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению соответственных задач становится заметным с самого начала.

Остановимся на примере с площадью круга. Произведение Архимеда «Измерение круга»²⁰ начинается следующим предложением: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника». Это предложение Архимед доказывает косвенно (методом исчерпывания), показывая с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников, что площадь круга будет не больше и не меньше площади указанного треугольника.

Кеплер рассуждает так: «Архимед пользуется косвенным доказательством, приводящим к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется, что смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга В содержит столько же частей, сколько точек, именно, бесконечное число. Каждую из них рассмотрим как основание некоторого равнобедренного треугольника со стороной AB, и таким образом в площади круга окажется бесконечное множество треугольников, соединенных вершинами в центре А. Пусть, далее, окружность круга В вытянута в прямую, и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпендикулярна (см. рисунок). Тогда основания всех этих бесчисленных треугольников, или секторов, будут представляться расположенными друг за другом по прямой ВС; пусть одно из таких оснований будет BF, и какое-нибудь равное ему — СЕ. Соединим точки F, Е, С с А. Таких треугольников ABF, АСЕ над прямой ВС получится столько же, сколько секторов в площади круга, и их основания BF, ЕС и общая высота AB будут такие же, как у секторов; следовательно, все эти треугольники ABF, ACE и т. д. будут равновелики (между собой) и каждый из них будет равновелик соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе эти треугольники, имеющие основания на линии ВС, т. е. треугольник ВАС, всеми ими составленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е. составленной ими площади круга. Это самое и имеет в виду архимедово приведение к нелепости»²¹.

Архимед действительно мог иметь это в виду. Но учитывая, что между элементарным круговым сектором и Элементарным треугольником имеется то различие, что дуга в основании сектора и радиус круга будут при конечном   n   всегда больше соответственных линий элементарного треугольника, для точности вывода следует показать, что разность между площадями круга и треугольника при увеличении числа делений может стать действительно меньше любого данного как угодно малого числа (т. е. что эта разность представляет собой бесконечно малое). Архимед своими рассуждениями это показывает, Кеплер — нет. У Кеплера хорды окружности переходят в точки, каждая из которых продолжает рассматриваться как основание некоторого равнобедренного треугольника. Получается, что площадь круга рассматривается Кеплером как какая-то сумма всех радиусов, а треугольника — как совокупность точек всех прямых, выходящих из одной из его вершин.

Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется архимедовыми методами доказательств, а как и в «Новой астрономии» при выводе второго закона движения планет, применяет суммирование бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Мы уже отмечали важную роль такого подхода на начальном этапе развития математического анализа. Кеплер говорит, что шар «как бы» содержит бесконечно много конусов, вершины которых лежат в центре, а основания — на поверхности шара, и находит таким образом его объем. «Вообще из его неоднократного «как бы» («veluti») видно, что он не стремится дать точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В других местах Кеплер отказывается от доказательств Архимеда и Паппа, называя их чрезвычайно глубокими, но трудными для понимания, и вместо них приводит рассуждения, которые устанавливают «вероятность» того или другого предложения из соображений индуктивного или интерполяционного характера»²².

Так Кеплеру удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних. Ему, разумеется, не было известно содержание архимедового «Послания к Эратосфену»²³, обнаруженного только в 1906 г. Из «Послания» становится ясно, что и Архимед пользовался инфинитезимальными соображениями, довольно близкими к кеплеровым.

Кеплер, как его современник Кавальери и другие более поздние математики XVII в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение «Summa omnium» — «сумма всех» (сумма всех радиусов-векторов, сумма всех ординат), которое выполняло тогда роль нашего термина «интеграл». Кстати, как известно, знак интеграла   ∫ (удлиненная буква S) был введен Лейбницем в конце XVII в. именно для сокращенной записи выражения «Summa omnium».

Во второй половине первой части своей работы — в «Дополнениях к Архимеду» — Кеплер показывает, что его способ оказывается очень удобным для решения многих новых задач. Так, в теореме 18, например, он легко устанавливает, что объем тора (кольца) равен объему цилиндра, основанием которого служит меридиональное сечение тора, а высотой — длина окружности, описываемой центром образующего тор круга. Кеплер доказывает это так: меридиональными сечениями тор разбивается на бесконечно большое число кружочков, толщина которых у внешнего края тора больше, чем у внутреннего, но толщина кружочка в центральной части равна среднему арифметическому толщин у краев. Поэтому Кеплер принимает, что объем такого кружочка равен объему цилиндра, высота которого равна толщине центральной части кружка, а в основании лежит образующий тор круг.

 При этом тор и цилиндр, о которых говорится в условии теоремы, разбиваются на равное число равновеликих частей, этим и доказывается теорема.

В следующем, более сложном примере определяется объем «яблока». Так называет Кеплер тело, образуемое сегментом, большим, чем полукруг, при его вращении вокруг хорды.

Остроумным перераспределением деформированных без изменения объема долей «яблока», образованных по одному способу меридиональными сечениями данного тела вращения, проходящими через его ось, так зазываемую хорду сегмента, а по другому — тонкими концентрическими цилиндрическими слоями, имеющими осью хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело, представляющее собой «цилиндрическое копыто» — цилиндрический сегмент, основанием которого является образующий «яблоко» сегмент, а высота равна длине окружности экватора данного тела вращения.

Рассмотрев в теоремах 18—22 вопросы о нахождении объемов тора, «яблока» и «лимона» («лимоном» названо тело, образуемое вращением сегмента, меньшего, чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее объемы и других тел, получаемых при вращении различным образом расположенных отрезков дуг конических сечений— эллипса, параболы и гиперболы. Всего сам Кеплер насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых он приписывает меткие названия: «айва», «слива», или «олива», «земляника», «груша» и т. д.

Вторая часть его книги, названная «Специальная стереометрия австрийской бочки», начинается рассуждением о геометрической форме бочек. Он указывает, что в первом приближении бочку можно рассматривать как цилиндр, или как два усеченных конуса, сложенных большими основаниями. Более точно форма бочек соответствует среднему слою либо лимона, образованного сегментом круга, либо сливы, образованной частью эллипса, либо параболического веретена, остающемуся после отсечения, равных частей с обеих сторон.

Далее Кеплер рассматривает зависимость между объемом бочек и длиной замеряемого отрезка от отношения длины клепок к диаметру днищ и отношения большего диаметра (в среднем сечении) к меньшему. Но главный интерес для нас представляет то, что Кеплер занимается здесь исследованием формы конусов, цилиндров, а также бочек, обладающих наибольшей вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что приводит его уже к задачам другого важнейшего раздела исчисления бесконечно малых — дифференциального исчисления: к определению максимумов и изопериметрической задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак максимума в том, что, как он пишет, разница между самим максимумом и непосредственно предшествующими или последующими значениями незаметна.

В третьей части книги («Употребление всей книги о бочках») Кеплер дает практические рекомендации по измерению объемов бочек, пытается найти способ для определения с помощью мерного стержня «отношения пустой части к остатку жидкости при лежащей бочке и вертикальных диаметрах пуза и днищ», но в общем виде решение этой задачи ему не удается.

Хотя инфинитезимальные работы Кеплера фактически открыли новую эпоху, новый период в развитии математики, они не были сначала правильно оценены многими его современниками. Некоторые математики резко выступили против его «нестрогих» методов определения объемов, против его метода суммирования бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через год после появления «Стереометрии» издал специальное сочинение «В защиту Архимеда»²⁴, где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого греческого ученого. Позже выступил против Кеплера и Гульдин²⁵. Они не понимали, что при всей нестрогости методов Кеплера, очевидных и для него самого, эти методы были весьма продуктивны и перспективны.

Но были среди математиков и такие, которые со всей определенностью ощутили плодотворность предложенного Кеплером способа трактовки вопросов, связанных с бесконечно малыми. К их числу можно отнести, например, Г. Бригса, создателя таблиц десятичных логарифмов. Нашлись и продолжатели начатого дела: уже в 1621—1622 г. итальянский математик Бонавентура Кавальери сообщил своему учителю Галилею основные принципы разработанной им новой концепции образования поверхностей и тел и определения их размеров. Во многом Кавальери оказался близок Кеплеру, которого высоко ценил, хотя и продвигался собственным путем. Свои воззрения оп систематически изложил только после смерти Кеплера, в 1635 г. в книге «Геометрия, развитая некоторым новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин»²⁶; через три года Декарт опубликовал свое исследование²⁷, которое легло в основу аналитической геометрии. Затем появились работы других математиков.

Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

Другой раздел математики, привлекавший внимание Кеплера в течение длительного времени, относится к геометрии в ее классическом смысле. Интересовавшие его вопросы из теории правильных многоугольников и многогранников были также тесно связаны с его поисками закономерностей в строении планетной системы и с его представлениями о «гармонии мира».

Нам уже известна его ранняя попытка (в «Космографической   тайне»)   математически   обосновать априорное предположение о том, что расстояния различных планет от Солнца определяются тем, что орбиты планет расположены на поверхностях сфер, около которых описаны и в которые вписаны в определенной последовательности правильные многогранники с общим центром в Солнце. Там же Кеплер рассматривает построение правильного звездчатого сорокаугольника, наибольшего по числу сторон, который до того рассматривался. Более важным было, однако, то, что здесь он впервые вводит нумерацию вершин в порядке следования образующих их сторон; это нововведение для звездчатых многоугольников было особенно существенно. В небольшом произведении «Strena, seu de Nive sexangula» («Новогодний подарок, или о шестиугольной форме снежинок»), написанном в 1611 г., Кеплер рассматривает способы заполнения правильными фигурами и телами плоскости и пространства. Эта же тема развивается им и в «Гармонии мира»²⁸.

Рисунки, взятые из этой книги, отражают его достижения в решении задачи о заполнении плоскости правильными многоугольниками, в том числе и звездчатыми.

В той же «Гармонии мира» (в первой книге) Кеплер снова обращается к правильным многоугольникам, излагая систематическую теорию как выпуклых, так и звездчатых фигур этого рода. При этом он исходит из следующих определений:

«1. Плоская правильная фигура такая, у которой все стороны равны и все углы также равны и направлены наружу.

2. Между этими плоскими правильными фигурами имеются некоторые первоначальные или основные фигуры, стороны которых не пересекаются взаимно, и к которым. собственно, относится данное определение 1. Однако имеются и фигуры более обобщенного вида, которые выходят за пределы этого определения и в которых несмежные стороны некоторых основных фигур продолжаются до их пересечения; они называются звездами»²⁹.

Кеплер вполне обоснованно относит к таким многоугольникам лишь те, которые могут быть вычерчены только одним росчерком. Здесь же он дает классификацию правильных многоугольников. Начиная с правильных трех-, четырех-, пяти-, семиугольников, он выделяет в одну группу многоугольники, количество сторон которых выражается простыми числами, и квадраты, а в другую — те, число сторон у которых кратно по отношению к числу сторон многоугольников первой группы. Интересны его рассуждения о возможности построения отдельных видов многоугольников.

Во второй книге «Гармонии мира» выделяются исследования по теории правильных многогранников. Кроме описания пяти правильных многогранников и обзора так называемых полуправильных тел Архимеда*, исследованных последним еще в III в. до н. э., но до Кеплера почти совершенно забытых, он впервые рассматривает здесь правильные звездчатые многогранники, которые образуются при продолжении ребер правильных выпуклых многогранников, и приводит описания и чертежи двух из них — так называемых 12- и 20-угольных звездчатых додекаэдров (Кеплер назвал их «echinus» — лат. «морской еж» и «ostrea» —лат. «устрица»). Приводим их изображения из книги Кеплера (здесь же изображены также правильные многогранники).

Только почти через 200 лет французский математик Пуансо в 1810 г. открыл еще два многогранника этого типа³⁰, а вслед за ним его соотечественник Коши доказал, что существует четыре и только четыре типа правильных звездчатых многогранников³¹.

Таким образом, и в этой области Кеплер первым после античных математиков получил новые результаты.

Кеплер-математик был прежде всего геометром. Он считал геометрию венцом математики, а алгебре отводил подчиненную роль. Рассматривая вопросы, имевшие отношение к алгебре, Кеплер избегал применения алгебраической символики, уже развивавшейся в то время, и пользовался словесным, впрочем весьма искусным, описанием соответственных соотношений. Это тем более удивительно, что Кеплер через Йоста Бюрги и Андриена ван Роомена должен был быть знаком с буквенным исчислением, введенным французом Ф. Виетой, и применением этого исчисления для решения геометрических задач.

Странный, совершенно не характерный дли Кеплера консерватизм, проявленный им в этом вопросе, следует объяснить, по-видимому, тем, что алгебраисты, или «коссисты», как их тогда часто называли (немецкие алгебраисты XVI—XVII вв. именовали алгебру «Coss» — от итальянского слова «cosa» — вещь, обозначавшего неизвестное у итальянских математиков), распространили свои методы на геометрические построения, не разрешимые в классическом смысле, т. е. с помощью циркуля и линейки. Коссисты, по мнению Кеплера, люди, «которые мучаются в попытках с помощью чисел выразить вевыразимое»³², алгебра «совершенно оставляет без внимания понятийные различия геометрических объектов»³³, «коссистские трисекции, пятисекции и т. д. угла — ненаучны»³⁴. В «Messekunst Archimedis» он подвергает критике прикладной характер коссистских решений в следующих выражениях: «Косса указывает нам путь как поводырь слепому, или как стены узкого прохода в темноте: если я ударюсь головой слева, то я знаю, что должен свернуть вправо, однако дорогу я не вижу»³⁵. Соглашаясь, что алгебру можно применять для прикладных вычислений. Кеплер не мог признать ее возможностей при объяснении существа геометрических понятий.

Однако, относясь с недоверием к силе алгебраических методов, он не мог от них отказаться, а в нескольких случаях сделал известный вклад в развитие алгебры как раз в связи с изучением геометрических вопросов.

Все в той же «Гармонии мира», изучая вопрос о возможности построения правильных многогранников, Кеплер высказывает мнение, что количество различных диагоналей правильных   многоугольников   выражается   через количество их сторон числом действительных корней соответственного уравнения деления окружности.

Рассматривая вопрос о метрических соотношениях в правильных многоугольниках, он также многократно прибегает  к  алгебраическим приемам.  Положив  отношение стороны правильного семиугольника к радиусу равным √j, он показывает, что j — трехкратный действительный корень уравнения 7—14j+7j²—j³ = 0 (в его записи оно выглядит так: 7—14ij + 7iij — 1vj, где ij означает j¹, iij = j²; a vj = j³)³⁶.

Наконец, имеет отношение к алгебре и задача, о которой выше говорилось, именно, «проблема Кеплера», сформулированная им еще в «Новой астрономии» и приводящая к знаменитому трансцендентному «уравнению Кеплера».

Нельзя не остановиться еще на одном интересном аспекте математического творчества Кеплера — появлении у него общего принципа непрерывности — своеобразного эвристического приема, который позволяет находить свойства одного объекта по свойствам другого, если первый объект получается предельным переходом из второго. Этот принцип широко используется во многих геометрических исследованиях современных математиков³⁷, но впервые он появился у Кеплера в разделе «О конических сечениях» уже упоминавшейся нами книги «Дополнения к Вителлию или оптическая   часть   астрономии»   (1604).

Здесь Кеплер, рассматривая вопрос о сечении конуса плоскостью, указывает, что при этом может образоваться прямая, окружность, парабола, гипербола и эллипс, причем «прямая линия переходит в параболу через бесконечные гиперболы, а далее через бесконечные эллипсы в окружность (см. рисунок) и что самая тупая из гипербол — прямая линия, а самая острая — парабола, самый острый из эллипсов — парабола, а самый тупой — круг»³⁸. Далее он пишет:«У круга имеется один фокус А, он же и его центр. У эллипса имеются два фокуса В, С, равноудаленные от центра фигуры, и чем острее эллипс, тем более удаленные. У параболы имеется только один фокус D внутри фигуры, а другой следует представлять себе на оси сечения вне или внутри него удаленным от первого па бесконечное расстояние, так что линия HG и JG, проведенная из этого слепого фокуса в произвольную точку G сечения, параллельна оси DK. У гиперболы внешний фокус F тем ближе к внутреннему фокусу Е, чем тупее гипербола, причем внешний фокус для одного из двух противоположных сечений является внутренним для другого, и наоборот»³⁹.

Прежде всего отметим, что здесь впервые в европейской литературе появляется термин «фокус» (лат. focus — огонь, очаг). Как предполагает Б. А. Розенфельд⁴⁰, Кеплер вводит этот термин под влиянием арабского термина «место зажигания», которым у них обозначался фокус параболы. Указывается и источник, из которого Кеплер мог об этом узнать — латинский перевод «Оптики» Ибн ал-Хайсама (Альхазена). Впоследствии этот термин широко используется Кеплером при выводе законов движения планет в «Новой астрономии». Здесь же впервые появляется термин «бесконечно удаленный» «infinito intervallo remotus» — удаленный на бесконечное расстояние — для второго фокуса параболы, называемого им «слепым» («caecus»), Кеплер сознает, что «слепой фокус» замыкает ось DK в обоих направлениях и что через него проходят все прямые HGJ, параллельные оси. Выражения «самая тупая из гипербол — прямая линия, а самая острая — парабола» и «самый острый из эллипсов — парабола» явственно свидетельствуют о том, что Кеплер говорит здесь о предельных случаях, причем предельным случаем гиперболы он считает прямую, в то время как парабола — предельный случай и для гиперболы и для эллипса. Именно эта интерпретация параболы как гиперболы или эллипса с бесконечно удаленным фокусом и представляет собой первый в истории математики случай применения общего принципа непрерывности.

Введением понятия бесконечно удаленной точки Кеплер сделал важный шаг на пути к созданию проективной геометрии, одного из важных разделов современной геометрии, изучающего свойства фигур, не изменяющихся при так называемых проективных преобразованиях. Проективная геометрия имеет непосредственную связь с математикой переменных величин хотя бы в том, что понятие бесконечно   удаленной  точки   не   могло   возникнуть раньше появления в математике идеи предельного перехода. Не удивительно, что Кеплер, находившийся у истоков математики переменных величин, приступил и к разработке исходных понятий современной геометрии, дальнейшие шаги в развитии которой были сделаны спустя три с лишним десятилетия Ж. Дезаргом и Б. Паскалем.

Деятельность Кеплера-астронома и естествоиспытателя была тесно связана с разработкой математических методов и средств еще в одной области — вычислительной математике. Примененный им в его исследованиях вычислительный аппарат по своим количественным и качественным характеристикам позволяет признать его крупнейшим вычислителем не только своего времени, но и всего XVII в. Роль его и здесь не исчерпывается потреблением ранее разработанных приемов, методов и средств; о важном, но хронологически более позднем вкладе Кеплера в разработку вопросов теории и практики логарифмических вычислений и о его отношении к изобретению первой в мире вычислительной машины будет рассказано ниже, в главе одиннадцатой.

* Полуправильные многогранники Архимеда — выпуклые многогранники, у которых все грани суть правильные многоугольники нескольких разных наименований, а все многогранные углы равны или симметричны между собой.

Примечания

1.-  J. Ozanam. Dictionnaires mathematique ou idee generale des mathematiques.  Amsterdam,  1691.

2.-  «Astronomia nova...»,   1609,   p.  192—198.   GW,    III, 263—270.

3.-  M. Я. Выгодский. Иоганн Кеплер и его научная деятельность. — В  кн.: И. Кеплер. Новая стереометрия винных бочек. М.—Л., ГТТИ, 1935, стр. 38.

4.-  А. Youschkevitch. Remarques sur la methode antique d'exhaustion. Melanges Alexandre Koyre, t. II. L'avcnture de la science Paris, 1964; p. 635—653.

5.-  «Astronomia nova...», p. 196. GW, III, 267.

6.-  M. Caspar. Kepler und die Infinitesimalrechnung. Unterrichtsblätter für Math, und Naturwiss., 38, 1932, No 7, S. 229.

7.-  См. об этом: А. П. Юшкевич. История математики в средние века. М.,   Физматгиз, 1961,  стр.  312.

8.-  «Astronomia nova...», p. 300. GW, III, 381.

9.-   Ibidem.

10.-  «Bibliographie du prohleme de Kepler». Bulletin astronomique, jan.  1900,  V.  X, p.  17—47.

11.-  «Astronomia nova...», p. 223. GW, III, 297.

12.-  Ibid., p. 2 57. GW, III, 368.

13.-  Ее полное название: «Nova stereomctria doliorum vinariorum, in primis Austriaci, figurae omnium aptissimae et usus in eo virgae cubicae compendiosissimus & plane singularis, accosit stereome-triae Archimedeae supplemcntum. Aucthore Ioanne Kepplero». Lincii, anno M. DC.XV. (1615).

14.-  Русский перевод: И. Кеплер. «Новая стереометрия винных бочек...», пер. и предисл. Г. Н. Свешникова; вступит, статья М. Я. Выгодского. М.— Л., ГТТИ, 1935.

15.-  «Новая стереометрия...», стр. 104—105.

16.-  Письмо П. Крюгера Кеплеру от 31 марта 1616 г. GW, XVII, 158.

17.-  См. письмо Кеплера сословному собранию Верхней Австрии от 9  мая 1616 г. GW, XVII, 178.

18.- Kepler. Außzug auss der Uralten Messekunst Archimedis... Lintz, 1616.  GW, IX, 135—274.

19.- «Новая стереометрия.,.», стр. 114—115.

20.- Архимед. Сочинения. Μ., 1962, стр. 266—267,

21.- «Новая стереометрия...», стр. 114—115.

22.- Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках. М.—Л., ГТТИ, 1933, стр. 243.

23.- Архимед. Сочинения, стр. 298—327, 565—577.

24.- А. Anderson. Vindiciae Archimedis, sive Elenchus Cyclometriae Novae. Paris, 1616.

25.- P. Guldini de centro gravitatis («Gentrobarica»). Viennae, Liber I, 1635; Liber IV, 164i.

26.- Cavalieri. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadara ratione promota. Bologna, 1635; 2 ed., ibid., 1653. Русск. пер.: Б. Кавальери. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. Пер. со вступит, статьей и примечаниями С. Я. Лурье. М.— Л., 1940.

27.- (Descartes R.) Discours de la mithode ... et la geometrie. Ley de, 1637. Русск. пер.: Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями:.. Геометрия. Ред. Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича. Л., 1953.

28.- «Harmonices Mundi. Libri V». Lincii, 1619. GW, VI.

29.- Ibid., lib. I, p. 6. GW, VI, 20.

30.- L. Poinsot. Memoire sur les polygones et les polyedres. Journ. de Гее. polyt., t. VI, cah. 10, 1810, p. 16—48.

31.- A. L. Cauchy. Recherches sur les polyedres; ibid., t. IX, cah. 16, 1811 (1813), p. 68—86.

32.- «Harmonices Mundi. Libri V», p. 36. GW, VI, 18—19.

33.- Ibid., GW,  VI,  15.

34.- Письмо Кеплера В. Шикарду 11 марта 1618 г. Архив АН СССР, Ленинградское отд., ф. 285, оп. 1, № 8, лл. 212—213. Опубликовано: GW, XVII, 258.

35.- GW,  IX,  147.

36.- GW, VI, 52.

37.- См. об этом подробнее: В. А. Розенфельд. Аналитический принцип непрерывности в геометрии. В кн.: «Историко-математические исследования», вып. XVI. М., «Наука», 1965, стр. 273—294,

38.- «Ad Vitellionem Paralipomena, quibus Astronomiae pars Optica traditur»,  Francofurti, 1604, p. 92.   GW,  II, 90.

39.-  Ibid., p. 93—94. GW, II, 91—92.

40.- Б. А. Розенфельд. Аналитический принцип..., стр. 275.