Ю. А. Белый

Йоганн МЮЛЛЕР (РЕГИОМОНТАН)

1436-1476

Региомонтан и становление математики в Европе

Математические знания в Европе до середины XV в.

XII—XV вв. для европейской математики — по преимуществу период усвоения наследства математиков древней Греции и арабско-индийского Востока. Начался этот период переводом в XII в. на латинский язык многих классических произведений — от Евклида и Архимеда до ал-Хорезми и Сабита ибн Корры. Тогда же стали появляться и первые университеты: еще в XI в.— древнейший в Европе университет в Салерно, в самом начале XII в.—в Болонье, затем в Париже и Оксфорде, уже в начале XIII в.— в Кембридже, в течение XIV в.— в Праге, Кракове, Вене и Гейдельберге, в начале XV в.— в Лейпциге, в середине — в Базеле и т. д. Как уже упоминалось, в числе обязательных предметов первого этапа обучения во всех этих учебных заведениях — на факультете искусств — был так называемый квадривиум — «четверка» наук, состоявшая из арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Впрочем, уровень обучения был весьма низким, не существовало еще специальных математических кафедр, в течение длительного времени не было и преподавателей, специализировавшихся на преподавании   этих   «наук». Напомним, что такое положение еще к середине XV в. имело место в Лейпцигском университете, когда туда пришел учиться Региомонтан,— предметы квадривиума читались магистрами факультета искусств по очереди, не по призванию, а по необходимости, и это неудивительно — преподавателей математики специально не готовили тогда ни в одном университете Европы.

Одним из первых специализировался на преподавании математических предметов магистр Венского университета Иоганн из Гмундена, уже упоминавшийся нами выше. Именно он положил начало традиции, вскоре выведшей Венский университет, тот самый, в котором получил образование Региомонтан, на первое место по постановке математического образования.

Развитие ремесла, товарного производства и торговли, улучшение материального положения и усиление общественной роли определенных слоев городского населения значительно усилили потребность в учебных пособиях, сочетавших практическую, прикладную направленность с обстоятельностью изложения и повышенным научным уровнем. Одно из наиболее выдающихся пособий такого рода появилось всего через несколько десятилетий после ознакомления европейцев с классиками древнего мира и Востока, в самом начале XIII в. Это была «Книга абака», ставшая важным средством распространения арифметики на основе «индийской» нумерации, а также элементарно-геометрических сведений. Автор этой книги — Леонардо Пизанский, известный также под именем Фибоначчи, считается первым самостоятельным математиком Западной Европы, усвоившим классическое наследие и в определенных областях продвинувшимся вперед. Это ему принадлежит разработка одного из частных случаев класса возвратных рядов, члены которых выражаются линейными комбинациями нескольких предыдущих, так называемого «ряда Фибоначчи», известного многим хотя бы по одной из брошюр серии «Популярные лекции по математике». Тот же Леонардо Фибоначчи в 1220 г. написал «Практику геометрии», содержавшую ряд важных геометрических теорем с доказательствами и основанных на них задач, некоторые из которых принадлежали самому автору. Примерно в то же время появились математические сочинения Йордана Неморария, в которых содержались оригинально изложенные сведения по арифметике, алгебре и геометрии.

На протяжении XIII и XIV вв. в английских и французских университетах стали усиленно изучаться и разрабатываться вопросы механики, некоторые свойства тепловых и оптических явлений. Среди ученых, работавших в этом направлении, особенно выделялся Роджер Бэкон (ок. 1214—1292), воспитывавшийся и преподававший в Оксфорде и Париже. Он проводил мысль, что познание физического мира должно основываться на наблюдении и опыте, считая в то же время математику важным средством исследований в физике и называя ее вратами и ключом к другим наукам. Ранние попытки математизации физики обусловили развитие таких математических теорий, как учение об отношениях, учение о континууме и другие. В этих направлениях заслуживающие внимания результаты были получены выдающимся английским мыслителем Томасом Брадвардипом (ок. 1290—1349), рассматривавшим иррациональные числа как отношения несоизмеримых величин (термин «иррациональный» в математическом смысле был впервые употреблен этим ученым). Ему же принадлежат определенные результаты в изучении звездчатых многоугольников, а также в изучении изопериметрических фигур. Никола Орем (ок 1323—1382), видный французский ученый XIV в., ввел в оборот дробные показатели степеней и довольно близко подошел к понятию иррационального показателя, что явилось важным достижением средневековой алгебры.

К середине XV в. все большее значение стали приобретать такие проблемы математики, как систематизация и обобщение способов измерения геометрических величин средствами плоской и сферической тригонометрии, совершенствование методов и средств вычислений, разработка математических таблиц на десятичной основе, а также чрезвычайно важное для теории и практики превращение алгебры из словесной, риторической, в символическую. И во всех этих проблемах важная роль была сыграна героем нашей книги Региомонтаном. Остановимся более подробно на его достижениях.

Региомонтан и тригонометрия

Следы первых попыток выявления общих правил решения простейших геометрических фигур — треугольников — теряются в глубине веков. Уже за несколько столетий до нашей эры в астрономии использовались отношения хорд соответствующих центральных углов в окружности к ее радиусу. Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх составил первые таблицы хорд. В конце I в. н. э. Менелай Александрийский написал целое сочинение о вычислениях с хордами, до нас не дошедшее. Зато через арабский перевод Сабита ибн Корры до нас дошло его сочинение «Сферика», в котором отражено состояние сферической геометрии на то время и, в частности, содержалась теорема о трансверсалях, позже названная теоремой Менелая: если AB и АС — прямые на плоскости, и на них взяты произвольные точки Ε и D, и пусть CD и BE пересекаются в G, тогда имеет место соотношение

Из этой теоремы Менелай, а затем знаменитый Клавдий Птолемей (середина II в.), автор «Альмагеста», получают важные формулы сферической тригонометрии. Птолемей составляет таблицу хорд с шагом в полградуса, широко использовавшуюся в течение многих последующих веков. Для ее составления им использована теорема, названная его именем: если четырехугольник вписан в круг, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. С ее помощью Птолемей выводит соотношение, эквивалентное формуле sin(α+ß)=sin α*cos ß+cos α*sin ß.

Тригонометрия хорд александрийских астрономов получила известность в Индии, а затем у ученых арабо-язычных стран. Но уже в V—VI в. индийский ученый Варахамихира заменил в сочинении «Пять сиддхант» хорды полухордами, т. е. линиями синуса. Эта замена была существеннее, чем может показаться на первый взгляд, — она позволила ввести различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Хорды у индийцев назывались «джива», буквально «тетива», синусы    именовались сначала «ардха-джива» — полутетива, впоследствии слово «ардха» было отброшено, арабы произносили название линии синуса «джайб» — буквально «впадина», «пазуха». Роберт Честерский около 1145 г. при переводе арабских текстов на латынь использовал латинское «sinus», имеющее то же значение.

Кроме линии синуса индийцы использовали и линию косинуса — «котидживу», синус остатка, дополняющего данный угол до 90°, а также обращенный синус «уткрамадживу», разность между радиусом и линией косинуса, которую Герардо Кремонский в середине XII в. перевел как соответственный арабский термин синус-версус. Следовательно, sin vers α=1—cos α, что нам понадобится в будущем. От того же Герардо Кремонского пошла традиция обозначать радиус тригонометрического круга переводом арабского термина «sinus totus», «полный синус». Этот термин (и его сокращение «sin tot») употребляли вплоть до времен Эйлера (XVIII в.), когда этот радиус стали считать равным 1. Индийцы же составили и первые таблицы синусов (у Бхаскары, XII в., с шагом в 1°).

Для определения высот и расстояний индийцы пользовались также тенью, отбрасываемой вертикальным (или горизонтальным) шестом — гномоном — на горизонтальную (и соответственно на вертикальную) плоскость. Арабские астрономы «обращенной тенью» стали называть линию тангенсов, а «плоской тенью» — линию котангенсов. Применялись и линии секанса и косеканса — соответственные таблицы позволяли заменить деление на синус и косинус более просто выполняемым умножением.

Восприняв достижения древнегреческой и индийской математики, ученые стран ислама внесли и свой вклад в ее развитие, в том числе в сферическую тригонометрию, которая, впрочем, ни у них, ни у их предшественников в самостоятельный раздел математики не выделялась и являлась вспомогательным средством астрономических вычислений. Работавший в Багдаде математик Сабит ибн Корра (836—901) в «Книге о часовом инструменте, называемом солнечными часами» (середина IX в.) дал два правила решения задачи об определении высоты Солнца h над горизонтом в зависимости от широты местности φ, склонения Солнца δ и его часового угла t. В современных обозначениях одно из этих правил выглядит так:

что (как и второе правило) эквивалентно одной из важнейших теорем сферической тригонометрии — сферической теореме косинусов, к которой мы еще возвратимся. Эти правила вслед за ибн Коррой приводились и другими учеными стран ислама, в том числе ал-Баттани (ок. 850—929) в «Сабейском зидже» и ал-Бируни, знаменитым среднеазиатским ученым-энциклопедистом из Хорезма (973—ок. 1050), в «Каноне Мас'уда». К той же теореме сводились правила определения расстояния между двумя пунктами на земной поверхности с данными географическими координатами (ортодромии). У того же ибн Корры, по-видимому, впервые, встречается и правило, эквивалентное второй важной теореме — сферической теореме синусов.

Многие ученые стран ислама проявили себя и как весьма искусные составители тригонометрических таблиц. Уже у выдающегося среднеазиатского математика и астронома из Хорезма Мухаммеда ибн Мусы ал-Хоре-зми (ок. 783—ок. 850), 1200-летие со дня рождения которого недавно широко отмечалось научной общественностью многих стран мира, имелись шестидесятеричные таблицы синусов через 1° с тремя знаками, а также таблицы котангенсов. Основываясь на теореме из комментариев к «Альмагесту» Птолемея, греческого ученого Теона Александрийского (вторая половина IV в.), отца знаменитой женщины-математика Гипатии («При постоянном приросте аргументов разности синусов убывают»), арабский ученый Мухаммед Абу-л-Вафа ал-Бузджани (940—988) применил интерполяционный прием, позволивший ему найти достаточно близкие оценки снизу и сверху решения уравнения трисекции угла и определить при радиусе 60 значение синуса полградуса, равное в шестидесятеричной мере 31^I 24^II 55^III 54^IV 55^V= =0,0087265366. На восьмиразрядном калькуляторе получаем sin 0,5°=0,008726535. Отсюда видим, что при этом определении Абу-л-Вафа достиг точности в 10^-8. Им были составлены таблицы синусов с интервалом в 15' с точностью до 60^-4, а также таблицы тангенсов и котангенсов. Ему принадлежит доказательство теоремы тангенсов для прямоугольного сферического треугольника и установление соотношений sin 2α = 2* sin α cos α и 1—cos α = 2* sin2 α/2,   а   также   одно   из   первых доказательств сферической теоремы синусов (об этом — ниже) и указание на целесообразность принимать радиус тригонометрического круга равным единице. Теорема синусов для плоских треугольников впервые встречается, по-видимому, у ал-Бируни.

Определенный вклад в тригонометрию был сделан также испано-арабским математиком Джабиром ибн Афлахом, работавшим в Севилье в середине XII в. (в латинских текстах его имя часто переводится как Гебер, Geber). Он впервые в Европе получил решение сферического треугольника по данному катету и противолежащему углу (правило Гебера), обратил внимание на то, что решение треугольника по двум данным сторонам не всегда возможно, а если возможно, то может быть как единственным, так и двойным. Результаты тригонометрических работ ученых стран ислама и их предшественников были в значительной мере обобщены в «Снятии покрывала с тайн фигуры секущих» или «Трактате о полном четырехстороннике» ученого-энциклопедиста На-сир ад-Дина ат-Туси (1201—1274), относящемся к 1260 г. В истории математики трактат ат-Туси считается первым сочинением, в котором тригонометрия рассматривается как самостоятельный раздел, а не как вспомогательный аппарат для решения астрономических задач.

Знакомство средневековых европейских ученых с тригонометрическим материалом началось подготовкой переводов сочинений классиков античности и средневекового Востока с арабского на латинский язык. Аделард из Бата в 1126 г. перевел астрономические таблицы ал-Хорезми в обработке ал-Маджрити, создав тем самым почву для ознакомления европейских ученых с начальными понятиями тригонометрии. Иоанн Севильский перевел в том же XII в. астрономический трактат знаменитого астронома из Ферганы Ахмада ал-Фаргани (IXв.), известный под названием «Книга об элементах науки о звездах». Оба этих перевода были хорошо известны Региомонтану. Кроме того, он, весьма вероятно, имел у себя перевод трактата «О движении звезд» ал-Баттани, который был выполнен Платоном из Тиволи в середине XII в., а также перевод «Трактата о полном четырехстороннике» ат-Туси. Как уже упоминалось, Региомонтан располагал также и греческим текстом птолемеевского «Альмагеста», для перевода которого на латинский специально изучил древнегреческий язык. Региомонтан использовал, вероятно, также переводы работ упоминавшегося уже Джабира ибн Афлаха, а также арабского астронома и математика аз-Заркали (ок. 1030—ок. 1090), известного в Европе под именем Арзахель.

Следует иметь в виду, что перечисленные выше переводы были в общем малодоступны, так как имелись всего в нескольких, а то и в одном экземпляре. В Центральной Европе практически не был известен упоминавшийся перевод таблиц ал-Хорезми, выполненный Аделардом, а это был один из немногих источников, из которых Региомонтан мог познакомиться с употреблением тангенса; по-видимому, мимо внимания Региомонтана прошли и составленные астрономом-математиком Джованни Кампано из Новары (ок. 1260—1280) таблицы тангенсов от 0° до 45° через каждый градус, хотя Региомонтан располагал его переводом «Начал» Евклида, позже изданным типографским способом. За исключением этих таблиц, а также таблиц коллеги Региомонтана по Венскому университету Пурбаха и его же итальянского коллеги Джованни Бьянкини, европейские предшественники Региомонтана ничего нового в тригонометрию не внесли. Проанализировать и обобщить весь накопленный ранее тригонометрический материал, расклассифицировать его логически, т. е. сделать в тригонометрии то, что Евклидом за 17 веков до того было сделано в геометрии, и предстояло Региомонтану.

Работа эта была им выполнена довольно быстро, в течение 1462—1464 гг. Начата она была в Риме, продолжена в Падуе. О том, что сочинение о треугольниках близко к завершению, Региомонтан сообщил в письме к Бьянкини.

Сохранился оригинал этого выдающегося произведения европейской математики XV в., бережно сохраняемый в настоящее время в Ленинградском отделении Архива АН СССР¹. Этот манускрипт вместе с двумя другими рукописями Региомонтана был описан нюрнбергским коллекционером X. Т. Мурром в 1801 г., передавшим их в 1803 г. русскому императору Александру I, который направил их в Московский университет. Позже эти рукописи попали в Пулковскую обсерваторию, а затем уже в Архив Академии паук.

Собственноручная вставка Региомонтана в рукописи гласит: «Reverendissimo in Christo patri et domino Bessarioni episcope Tusculana sancte Romane ecclesiae Car-dinali: patriarcho Constantinopolitano Johanne Germanus de Regiomonte se offert devotissimum» («Почтеннейшему отцу во Христе и господину Виссариону, Тускуланскому епископу, кардиналу святой римской церкви и Константинопольскому патриарху Иоганн, немец из Кенигсберга, изъявляет свое тайное почтение»). Поскольку в 1465 г. Региомонтан надолго покинул Италию, следует считать, что еще до своего отъезда он передал рукопись своему покровителю Виссариону. Позже рукопись каким-то образом снова оказалась у Региомонтана, скорее всего он попросил ее вернуть для внесения некоторых добавлений и для публикации: в плане-проспекте изданий своей типографии Региомонтан в 1474 г. указывает ее под названием «De triangulisomnimodislibriquinque» («О всех видах треугольников пять книг»). Под этим названием она и вошла в историю математики, хотя вышла в свет только спустя 70 лет.

Читателю известна уже судьба большей части научного наследия выдающегося ученого. Внезапный отъезд ученого в 1475 г. в Италию, внезапная смерть в следующем году, просьба о сохранении оставляемых рукописей, слишком буквально выполненная его нюрнбергским другом и коллегой Б. Вальтером, распыление научного наследия Региомонтана после смерти Вальтера — все это привело к тому, что часть этого наследия оказалась безвозвратно утраченной, а сохранившаяся опубликована через 50 и больше лет после его смерти. По публикациям основных произведений Региомонтана следовало бы считать ученым уже следующего, XVI века.

Сочинения Региомонтана получили широкую известность благодаря деятельности Иоганна Шёнера (1477—1547), с 1526 г. преподавателя математики гимназии в Нюрнберге (до того—священника в Эрфурте). Шёнер был известен как специалист по изготовлению земных и небесных глобусов, владел хорошей библиотекой с многочисленными редкими рукописями, часть из которых он переписал сам. С 1515 по 1531г. он опубликовал 15 собственных работ на математические и астрономические темы. Обнаружив часть сочинений Региомонтана, он сразу же взялся за подготовку их к изданию. В 1531 г. он публикует сочинение Региомонтана о кометах [11], в 1533 г. издает свою обзорную работу «Opuscuhim geographiam et ex diversorum Hbris ac cartis... collectum»    («Географическое   сочинение...    составленное из различных книг и карт»), во второй главе которой помещает приписываемое Региомонтану сочинение «De quadratura circuli...»  («О квадратуре круга...»).

Однако особо важным было издание Шёнером тригонометрического сочинения Региомонтана. Хотя рукопись была в значительной мере подготовлена к печати самим Региомонтаном, который сам разделил ее на пять книг и на отдельные главы, выделив в каждой из них подчеркиванием заголовки, из-за многочисленных сокращений и правки ее трудно было использовать для непосредственного набора. Поэтому Шёнер сам переписал ее, подвергнув некоторой правке, в ходе которой отдельные места были пропущены, видимо, по недосмотру. Опущенными, в частности, оказались 6 строк текста в гл. 31-й четвертой книги [28, л. 93]. Копия Шёнера не сохранилась, оригинал рукописи, как уже знаем, дошел до наших дней.

Книга вышла из печати в 1533 г. и сразу же обратила на себя внимание многих ученых. Когда Ретик направлялся к Копернику и отбирал для него книжные новинки, среди них оказалась и тригонометрия Региомонтана. Ее полное заглавие «Doctissimi viri et mathematicarum disciplinarum eximii professoris Ioannis de Regiomonte de triangulis omnimodis libri quinque» («Ученейшего мужа и выдающегося профессора математических наук Иоганна Региомонтана пять книг о различных видах треугольников»). Отпечатана она была в типографии Иоганна Петрея там же, в Нюрнберге. В этой же типографии десять лет спустя, в 1543 г., было выпущено знаменитое произведение Николая Коперника «Об обращениях небесных сфер».

Шёнер предпослал книге Региомонтана полуторастраничное предисловие, в котором посвящает ее «сенаторам города Нюрнберга», подчеркивает ее значение и выпадающую городу честь ее публикации, сообщает, что оригинал получен им через Виллибальда Пиркгеймера, и указывает, что при подготовке к изданию книгу пришлось переписать. В качестве приложения приводится известное сочинение Николая Кузанского о квадратуре круга. В 1967 г. Барнабас Юз издал факсимиле книги с английским переводом, а в 1972 г. Ф. Шмейдлер повторил его в факсимильно изданном «Opera Collectanea» — собрании сочинений Региомонтана.

Рассмотрим содержание этой книги и некоторые особенности представления; материала в ней.

Первая книга — вводная. Как и в первой книге «Начал» Евклида, в самом начале даются определения основных понятий («количество», «мера», «число», «отношение», «сторона квадрата», «окружность», «дуга», «хорда», «прямой синус» (т. е. обычный синус в отличие от синуса-версуса), «дополнение дуги», «—угла», «основание» и «стороны» треугольника, «равносторонний», «равнобедренный» и «разносторонний треугольник», «сегмент», «умножение», «деление»). Затем следуют аксиомы («Равные количества имеют и равные измерения. В двух или большем числе; одинаковых количеств одна и та же мера содержится одинаковое число раз, отношение единицы к любому числу (и обратно) есть данное отношение. Целая часть любого числа обозначается самим числом. Если из неравных вычесть равные, то их разности будут неравны в том же порядке. Если неравные вычитаются из равных, то разности неравны в обратном порядке. Любое отношение может быть выражено числом»).

Первая теорема, как и ряд последующих, является вспомогательной: «Квадрат любой данной линии (т. е. отрезка) известен». Обосновывается возможность построения квадрата на его стороне. Вообще первые 19 предложений первой книги посвящены величинам и их отношениям, а предложения с 20-го до 57-го — геометрическому решению прямоугольных, равнобедренных и косоугольных треугольников, за семью исключениями: в теоремах 20, 27 и 28 рассматривается и используется понятие синуса, а теоремы 49, 50, 52 и 58 посвящены решению косоугольных треугольников разбиением их на прямоугольные (при этом Региомонтан ссылается на теорему 27, в которой синус используется).

Систематическое изложение тригонометрического материала начинается с первой теоремы второй книги — теоремы синусов для прямолинейных треугольников. Ее Региомонтан формулирует так: «В каждом прямолинейном треугольнике отношение одной стороны к другой стороне такое же, как прямого синуса угла, лежащего против одной из сторон, к прямому синусу угла лежащего против второй стороны» [12, р. 46]. Теорема синусов тут же применяется им для двух случаев решения косоугольных треугольников: найти отсутствующие элементы треугольника, если даны два угла и сторона треугольника или же две стороны и угол, лежащий против одной из них (предложения 4 и 5 второй книги). Во второй книге следует обратить внимание на два момента.

Во-первых, в предложениях 12 и 13, посвященных определению длин сторон треугольника, используются алгебраические методы решения, сводящиеся к квадратным уравнениям, причем Региомонтан исходит из предположения, что читателю известны способы решения квадратных уравнений. Это может свидетельствовать о достаточно широком распространении уже в то время в Европе перевода уже упоминавшейся «Алгебры» ал-Хорезми, сам Региомонтан был хорошо знаком с этим произведением. Применяемая здесь алгебра скорее риторическая, словесная, чем синкопическая и тем более символическая, хотя, как нам уже пришлось видеть, Региомонтану были известны и символы Диофанта, и обозначения, которые тогда начали применяться у европейских математиков.

Следует отметить, что в ленинградском оригинале этой книги Региомонтан в примечаниях на полях, очевидно уже после завершения основной работы над рукописью, приводит и символическую запись этих уравнений, используя в качестве знака равенства вытянутую горизонтальную черту, обозначая неизвестное готической буквой t (от res-вещь), а ее квадрат — готической буквой с (от census — оценка), те же обозначения, которые он применяет в письме к Бьянкини, сообщая о находке Диофанта (см. с. 94), и в ряде других случаев (о происхождении этой символики см. на с. 90). В современных обозначениях эти уравнения можно представить так:

Во-вторых, в теореме 26, по-видимому, впервые в истории математики площадь треугольника выражается тригонометрическим путем.

Итак, первые две книги этого сочинения Региомонтана посвящены в основном вопросам плоской тригонометрии. Фактический материал, изложенный здесь, во многом близок к упомянутым выше арабоязычным источникам. Сам Региомонтан не упоминает об этих источниках, но многие из них могли быть ему известны по их латинским переводам. Кроме того, Региомонтан мог познакомиться с ними по сочинению еврейского математика Леви бен Гершона (1288—1344), жившего в Провансе. Такого мнения придерживается А. Браунмюль [92, с. 126], однако биограф Региомонтана, немецкий историк астрономии Э. Циннер [49, с. 89—90], считает, что Региомонтан не мог познакомиться с произведением бен Гершона до 1467 г., когда работа над тригонометрическим трактатом фактически была уже давно завершена.

Третья книга данного сочинения излагает основы сферической геометрии. В ней приводятся 56 теорем, чье содержание в значительной мере совпадает со «Сферикой» Менелая, переводом которой на латинский язык, выполненным Герардо Кремонским, Региомонтан, по-видимому, располагал. Впрочем, он мог пользоваться и латинским переводом Герардо сочинения Джабира ибн Афла с изложением аналогичного материала.

Центральной теоремой следующей, четвертой, книги является сферическая теорема синусов (16-я в этой книге). Эта важная теорема сферической тригонометрии, утверждающая постоянство отношений синусов сторон прямоугольного сферического треугольника к синусам противолежащих углов, по-видимому, здесь впервые у европейских математиков приводится с полным доказательством.

Для ознакомления со стилем и другими особенностями изложения Региомонтана приведем полный перевод соответствующего текста:

«[Теорема] XVI.

В каждом прямоугольном треугольнике отношение синусов всех сторон к синусам углов, на них опирающихся, постоянно.

Если ABG есть треугольник с прямым углом В, то отношение синуса стороны AB к синусу угла AGB то же, что и отношение синуса стороны BG к синусу угла BAG и отношение синуса стороны AG к синусу угла ABG, что мы и докажем следующим образом.

Неизбежно, что или каждый из углов А и G является прямым, или только один из них [прямой], или ни один [не прямой]. Если каждый из них есть прямой угол, тогда согласно гипотезе и теореме 2 точка А есть полюс круга AG и точка В, кроме того, есть полюс круга AG, а точка G есть полюс круга AB. Таким образом, по определению каждая из трех дуг будет давать величину противоположного угла. Следовательно, синус каждой из трех сторон будет равен синусу противоположного угла, а потому отношение синуса каждой стороны к синусу противоположного угла будет одинаково, причем это отношение есть равенство.

Если же только один из углов А и G прямой [угол], то пусть прямым будет угол G. Так как мы предположили, что и угол В прямой, то при этих данных точка А есть полюс круга BG и каждая из дуг ВА и AG есть четверть большого круга. Тогда по определению каждая из дуг AB, BG и GA будет определять величину противоположного угла, что и следует из самого определения угла. Отсюда становится очевидным, что отношение синуса любой стороны к синусу противоположного угла постоянно, причем это отношение есть равенство.

Если же ни один из углов А и G не является прямым, то ни одна из трех сторон не будет квадратом большого круга, как установлено выше, в теореме 3, и может представиться три случая. Если оба угла А и G — острые, каждая из дуг АВ и BG будет меньше квадранта, а потому и дуга AG будет меньше четверти большого круга. В этом случае продолжим дугу GA в сторону точки А настолько, чтобы она стала квадрантом GD², и, взяв хорду — сторону большого вписанного квадрата — в качестве радиуса и точку G в качестве центра, опишем большой круг, пересекающий продолжение дуги GB в точке Е. Наконец, продолжим дугу GA до точки Z, чтобы получить квадрант AZ; а хорда этого квадранта, будучи повернутой около полюса А, опишет круг, пересекающий продолжение дуги AB в точке H. Приводим соответствующий чертеж (см. с. 72, а).

Если же оба угла А и G — тупые, то каждая из дуг AB и GB будет больше квадранта, и мы знаем, что дуга AG меньше квадранта. Тогда, продолжая дугу AG, как и прежде, в обе стороны до получения четверти большого круга GD, а также AZ, опишем два больших круга с центрами в точках G и А. Окружность круга, описанного около точки G, непременно пересечет дугу GB, которая больше квадранта. Пусть это произойдет в точке Е. Другой круг, описанный около точки А, пересечет дугу АВ в точке Н. Таким образом получится фигура 2 (см. с. 72, б).

Если же один из углов А и G тупой, а другой — острый, то пусть А будет тупым, a G - острым, тогда из выше упомянутых теорем следует, что каждая из дуг BG и GA больше квадранта, а дуга AB — меньше квадранта. Тогда выделим на дуге AG два квадранта GD и AZ, имеющие общей частью дугу DZ. Окружность круга, описанного около точки G как полюса, пересечет дугу BG, которая больше квадранта; пусть точкой пересечения будет Е. Далее, окружность круга, описанного около точки А, не пересечет дуги AB, так как эта последняя дуга меньше квадранта, но пересечет ее, если ее достаточно продолжить, например, в точке Η (см. с. 72, е). Поэтому, когда ни один из углов А и G не прямой, мы хоть и вынуждены пользоваться тремя чертежами, ход рассуждений во всех трех случаях окажется один и тот же.

Так как два круга GD и GE наклонены один к другому (буквально: встречаются под углом. — Ю. Б.) и так как на окружности круга GD имеются две точки с перпендикулярами AB и DE, выходящими из этих точек, то тогда по предыдущей теореме отношение синуса дуги GA к синусу дуги AB равно отношению синуса дуги GD к синусу дуги DE, или, переставляя члены пропорции, получаем, что отношение синуса GA к синусу GD равно отношению синуса AB к синусу DE.

Подобным же образом два круга AZ и АН пересекаются под углом, и на окружности круга AZ имеются две точки G и Z, из которых опущены две перпендикулярные дуги GB и ZH. А потому по предыдущей теореме отношение синуса AG к синусу GB  равно отношению синуса AZ к синусу ZH, и, изменяя порядок, получим, что синус AG относится к синусу AZ, как синус GB к синусу ZH.

Кроме того, синус AG относится к синусу AZ, как синус GA к синусу GD. Каждая из дуг AZ и GD является квадрантом. Следовательно, синус стороны AB относится к синусу DE, как синус стороны GB к синусу ZH, таковым же будет и отношение синуса стороны AG к синусу квадранта. Далее, синус DE есть синус угла AGB, так как дуга DE служит мерой угла AGB с точкой G как полюсом круга DE. Подобно этому, синус ZH является синусом угла BAG. Кроме того, синус квадранта является синусом прямого угла. Следовательно, отношение синуса стороны АВ к синусу угла AGB и отношение синуса стороны BG к синусу угла BAG, а также отношение синуса стороны AG к синусу прямого угла ABG будут одинаковы, ч. и т. д.» [12, с. 103— 104].

В следующей теореме Региомонтан обобщает доказанное утверждение на случай произвольного сферического треугольника:

«[Теорема] XVII.

В любом непрямоугольном треугольнике синусы сторон находятся в той же пропорции к синусам противолежащих углов.

Если доказательство предыдущей [теоремы] othocpi-лось к прямоугольным треугольникам, настоящая [теорема] утверждает то же для непрямоугольных треугольников. Пусть треугольник ABG не имеет ни одного прямого угла. Тогда я утверждаю, что отношение синуса стороны AB к синусу угла G и отношение синуса стороны BG к синусу угла А, и отношение синуса стороны GA к синусу угла В равны между собой.

Опустим перпендикуляр AD из точки А, который пересечет дугу BG, если он пройдет внутри треугольника, или же встретит продолжение дуги BG, если он окажется вне треугольника, причем этот перпендикуляр не может иметь общего конца ни с АВ, ни с AG, так как в этом случае один из углов В или G оказался бы прямым углом, что противоречит нашему предположению. Поэтому пусть он — возьмем первый случай — падает внутри треугольника, разбивая его на два треугольника ABD и AGD (см. с. 72, г). Согласно предыдущему доказательству, только с перестановкой членов, отношение синуса AB к синусу AD равно отношению синуса угла ADB, прямого угла, к синусу угла ABD. Но согласно этому же доказательству отношение синуса AD к синусу AG равно отношению синуса угла AGD к синусу прямого угла ADG на основании того, что синус угла ABG относится к синусу AG, как синус угла AGB — к синусу угла ABG, и, изменив порядок, получаем, что синус стороны АВ относится к синусу угла AGB, как синус стороны AG к синусу угла ABG.

Наконец, можно заключить, что отношение синуса стороны BG к синусу угла BAG равно указанным прежде отношениям, если из одной из указанных вершин В или G опустить дугу, перпендикулярную к противоположной стороне.

Если же перпендикуляр AD окажется вне треугольника, вследствие чего чертеж несколько изменится (см. с. 72, д), то мы опять постараемся получить тот же результат, так как, видоизменяя предыдущее доказательство, получим, что синус AB будет относиться к синусу AD, как синус прямого угла ADB относится к синусу угла ABD³. Подобным же образом синус AD относится к синусу AG, как синус угла AGB относится к синусу прямого угла ADG. Следовательно, синус стороны AB относится к синусу стороны AG, как синус угла AGB относится к синусу угла ABD.

Кроме того, синус угла ABD есть также синус угла ABG по определению. Следовательно, синус AB относится к синусу AG, как синус угла AGB к синусу угла ABD, а поэтому, переместив члены, получим также, что синус стороны АВ относится к синусу угла AGB, как синус стороны AG относится к синусу угла ABG. Наконец, мы докажем, что тому же равно отношение синуса стороны BG к синусу угла BAG, и это докажется тем же способом, каким мы выше пользовались. Следовательно, положение, которое было доказано в этих теоремах для прямоугольных и непрямоугольных треугольников, может быть теперь установлено нами вообще для треугольников любого типа, и мы увидим шаг за шагом те обильные и приятные плоды, которые принесет нам это изучение» [12, р. 104—105].

Перевод выполнен по факсимильному изданию оригинала [12], сверен с английским переводом [12, р. 223, 225, 227], с переводом на русский язык, опубликованным в 1936 г. [21, с. 3—7], а также с текстом собственноручной рукописи Региомонтана из Архива АН СССР [29]. Для улучшения восприятия текст в определенной степени пришлось «осовременить», но и без такой модернизации, следует заметить, свыше 500 лет тому назад Региомонтану удалось четко и вразумительно изложить весьма сложный и непривычный для того времени материал с важнейшими положениями сферической тригонометрии. Мы допустили еще одну «вольность» — точки, вершины треугольников и концы отрезков и дуг обозначили прописными, а не строчными, как в оригинале, буквами латинского алфавита.

Теоремы 25, 26 и 27 этой книги посвящены различным случаям решения прямоугольных сферических треугольников, а с 28-й по 34-ю — всем шести случаям решения произвольных сферических треугольников. И здесь заметно в общем и во многих деталях влияние и использование источников, опирающихся на работы математиков стран ислама. Эта связь подкрепляется и такой деталью, на которую указывает Б. А. Розенфельд [90, с. 24]: во многих случаях, в том числе и в только что рассмотренных теоремах, Региомонтан обозначает вершины рассматриваемых треугольников не в порядке букв латинского алфавита ABC, a ABG, т. е. теми латинскими буквами, которыми обычно транскрибируются первые три буквы арабского алфавита (а, б, дж). Влиянием арабского языка, в котором нет прописных букв, объясняется и то, что Региомонтан применял только строчные буквы.

Исследователи, изучавшие текст «Пяти книг о треугольниках» Региомонтана, неизменно подчеркивали последовательность, логичность и систематичность изложения материала первых четырех книг, но пятая книга всегда вызывала ощущение некоторой незавершенности, отклонения от тех требований совершенства изложения, которые Региомонтан стремился выдержать в первых четырех. И это несмотря на то, что в конце оригинала этой короткой, состоящей всего из 15 предложений книги рукою автора начертано «finis». Подчеркнем, что «книгами», из которых состояли относительно крупные сочинения, называли тогда фактически то, что мы теперь называем обычно «главами», «разделами». Но тем не менее именно в этой главе, довести которую до совершенства Региомонтану помешали какие-то обстоятельства, содержится своеобразная «жемчужина» сферической тригонометрии — вторая теорема этой книги.

Вот ее формулировка: «Во всяком сферическом треугольнике, состоящем из дуг больших кругов, отношение синуса-версуса какого-нибудь угла к разности двух синусов-версусов, один из которых — синус-версус стороны, стягиваемой этим углом, а другой — синус-версус от разности обеих дуг, ограничивающих этот угол, таково же, как отношение квадрата полного прямого синуса к прямоугольнику, образованному синусами дуг, заключающих рассматриваемый угол» [12, р. 127].

То, что выражено здесь в непривычной для нас словесной форме, мы можем совершенно свободно перевести на язык формул, пользуясь уже упоминавшимися (см. с. 62) обозначениями:

Но ведь эта формула — символическое выражение важнейшей в сферической тригонометрии сферической теоремы косинусов, которая находит самое широкое применение и в астрономии, и в географии (вычисление длины ортодромии, кратчайшего расстояния между двумя пунктами на поверхности земного шара), и во многих других случаях.

Нельзя сказать, что Региомонтан пришел к этому соотношению совершенно самостоятельно. Частный случай этой теоремы как задача определения высоты h Солнца по его склонению δ (т. е. по его сферическому расстоянию от небесного экватора), широте φ места наблюдения и часовому углу t рассматривался, как уже упоминалось, у Сабита ибн Корры, а затем в трактате «О движении звезд» ал-Баттани, переводом которого на латинский язык   Региомонтан   располагал еще в годы пребывания в Вене. Более общее предложение, равносильное этой теореме, для непосредственного определения азимута А по h,    δ    и    φ    было сформулировано современником    ал-Баттани    Мухаммадом    ал-Махани (ок. 825—888) в «Книге об определении азимута в какой угодно час в каком угодно месте». В свою очередь, не исключаются заимствования арабоязычных ученых у их индийских коллег. Об использовании Региомонтаном источников,  восходящих к  сочинениям классиков науки средневекового  Востока, говорит,  как отмечает Б. А. Розенфельд   [90,  с.  24],  и  тот  факт,  что  приводимый Региомонтаном    чертеж    к    этой теореме (см. с. 72)   вплоть  до  обозначений  совпадает  с  чертежами  в сочинениях    Ибн    Корры и ал-Баттани, где они служили для решения конкретных  астрономических задач: на чертеже у Региомонтана хорошо различим небесный экватор, полюс мира, круг склонения, эклиптика и другие элементы небесной сферы. Но несомненно и другое.   Хотя   математики и   астрономы средневекового Востока и пользовались правилами, равносильными  сферической   теореме   косинусов,   как отдельная теорема это предложение не был выделено ни у Ибн Корры, ни у ал-Баттани, ни у крупнейшего математика и астронома XIII в. Насир  ад-Дина  ат-Туси, автора наиболее полного арабоязычного изложения сферической тригонометрии «Снятие покрывала с тайн фигуры секущей». Честь выделения этого предложения в виде отдельной теоремы с соответствующим доказательством принадлежит, по всеобщему мнению, Региомонтану.

Можно сказать, что «Тригонометрия» Региомонтана, назовем ее так для краткости, значительно опередила его время, и ее публикация в 1533 г. не прошла незамеченной — математики и астрономы пользовались ею и столетия спустя. Но отсутствие этой книги ощущалось задолго до ее публикации.

В 1542 г., за год до выхода знаменитого произведения Николая Коперника «Об обращениях небесных сфер», в Виттенберге вышла небольшая книжка с весьма пространным, в духе того времени, названием: «De lateribus et angulis triangulorum tum planorum rectilineorum tum sphaericorum libellus eruditissimus et utilissimus, cum ad plerasque Ptolemaei demonstrationeä intelligentias, tum vero ad alia multa, scriptus ä clarissimo et doctissimo viro D. Nicoiao Copernico Toronensi. Additus est Canon semissium subtensarum rectarum linearum in circulo. Escusum Wittembergae, per Johannem Lufft, Anno 1542» («О сторонах и углах треугольников, как плоских, прямолинейных, так и сферических. Ученейшая и полезнейшая книжечка как для понимания большей части доказательств Птолемея, так и для многого другого. Написана славнейшим и ученейшим мужем господином Николаем Коперником из Торуни. Добавлена таблица половин хорд окружности. Издана в Виттенберге Иоганном Люфтом в 1542 году»). Из предисловия к книжке мы узнаем, что своим изданием она обязана Ретику, молодому профессору математики Виттенбергского университета, специально побывавшему у Коперника для изучения на месте разработанной тем гелиоцентрической теории и опубликовавшему ее первое изложение (зимой 1539/40 г.).

Познакомившись подробно с его книгой «Об обращениях небесных сфер», Ретик долго не мог убедить Коперника дать согласие на ее издание и сначала до бился права на публикацию лишь той ее части, которая представляла собой изложение плоской и сферической тригонометрии. В окончательном варианте этот материал вошел в виде трех глав (XII, XIII и XIV) в первую книгу «Обращений». Коперник, не имея подходящего сочинения по тригонометрии, был вынужден сам приняться за разработку ее основных положений; без этого он вряд ли смог бы выполнить поставленную перед собой грандиозную задачу — «остановить Солнце запустить в движение Землю». Копернику едва ли бы ли доступны многие из тех источников, которыми мо располагать Региомонтан, и основным был, по-видимому, «Альмагест» Птолемея.

Наибольший интерес здесь представляет материал относящийся к сферической тригонометрии. Следует сразу же отметить, что данный им вывод теорем сферической тригонометрии отличался от предшествовавших тем, что был основан на чрезвычайно удачно идее, принадлежавшей, по-видимому, самому Копернику. По этой идее для вывода использовалась трехгранная пирамида со сферическим основанием и вершиной в центре сферы. На этой идее Коперник строит доказательство теоремы синусов   сферической   тригонометрии, которое отличается и от доказательств греческих и арабских математиков, и от приводимого в его книге доказательства Региомонтана.

Изложение тригонометрии у Коперника завершается рассмотрением случаев решения сферического треугольника по трем сторонам (теорема XIII) и по трем углам (теорема XIV). Из оригинала рукописи книги «О вращении» видно, что эти задачи включены ученым позже других, возможно, после приезда к нему Ретика, который передал Копернику несколько трактатов по математике и астрономии, изданных в предыдущие годы. Среди них были и региомонтановы «Пять книг о треугольниках всякого рода», вышедшие, как мы знаем, в 1533 г. (Ретик приехал к Копернику в 1539 г.). Можно, таким образом, допустить, что при доказательстве теорем XIII и XIV Коперник уже располагал произведением Региомонтана, но и здесь он пошел собственным путем и его доказательства отличаются от региомонтановых.

Публикации тригонометрических сочинений Региомонтана и Коперника появились с разницей всего в девять лет. Хронологически, а тем более фактически Коперник представлял уже новое поколение ученых, более того, его вклад в науку обеспечил ему положение лидера   этого  поколения,  да  и  нескольких  последующих. Недаром   естественнонаучную   революцию Нового времени часто называют   коперниканской.   Однако  вклад в   развитие   тригонометрии у   обоих   ученых   разный, и здесь уже роль лидера остается за Региомонтаном. И это естественно. Для Коперника занятия тригонометрией не были самоцелью; будучи прежде всего астрономом, он стремился к разработке методов, имеющих прикладное  значение,  облегчающих решение  астрономических задач. Математик, а уж затем астроном, Региомонтан преследовал более общую цель — систематически изложить все, что относится к решению плоских и сферических треугольников. Тем самым тригонометрия была выведена Региомонтаном в самостоятельную отрасль математической науки.

Региомонтан и совершенствование тригонометрических таблиц

Современному читателю трудно оценить роль, которую в развитии математики и ее приложений сыграли в свое время различные математические таблицы — от таблиц сложения и умножения до таблиц тригонометрических функций и логарифмов. В последние годы происходит бурный процесс вытеснения большинства таблиц элементарных функций новыми средствами индивидуальных вычислений — электронными микрокалькуляторами. Набрал на клавиатуре аргумент и получай через доли секунды результат — соответствующую функцию, и притом с точностью, какая совершенно недостижима для наиболее распространенных таблиц. Карманный калькулятор размерами с туалетное зеркальце и массой в 50 г может быть всегда, в любых условиях, при себе, любой, даже довольно сложный вычислительный процесс почти не требует затрат умственной энергии и позволяет экономить много времени, которого постоянно так не хватает!

Еще в глубокой древности наблюдалось стремление упростить вычислительный процесс применением соответствующих таблиц. Их составление было весьма трудоемким делом, зато облегчалась работа их потребителей. Широкое распространение различные математические таблицы получили за много веков до нашей эры в древнем Вавилоне — от таблиц умножения и таблиц обратных величин до таблиц степеней. Если вспомнить, что носителем информации здесь были глиняные таблички, попробуйте представить себе те удобства, которые доставлялись пользователям, например, таблицам? умножения, — при шестидесятеричной системе счисления, принятой у вавилонян, нужно было облегчить нахождение произведений не до 9X9, как у нас, а до 59X59.

Наиболее распространенными и громоздкими уже в древности были астрономические вычисления, связанные с решением треугольников. Уже в «Альмагесте« Птолемея мы находим составленные им таблицы хорд стягивающих центральные углы, с шагом в 0,5°. Как известно, хорды у Птолемея играли роль наших синусов; хорда а, стягивающая угол α, равна удвоенному синусу половины данного угла, a=2*sin(α/2).

Математики древней Индии заменили в вычислениях хорду полухордой, т. е. линией синуса, они же составили и первые таблицы синусов. Так, в одной из древнеиндийских математических рукописей «Сурья сиддханта» и в сочинении математика Ариабхатты (р. в 475 г.) приводятся таблицы синусов с шагом в 3°45'.

Наиболее ранние таблицы синусов в арабском мире были составлены, по-видимому, знаменитым ал-Хорезми (783—850), а его современник Хабаш ал-Хасиб ал-Марвази (764—834) из Мерва (ныне Туркменская СCP) ввел в употребление тангенс и котангенс как отношения катетов прямоугольного треугольника и составил первые таблицы значений этих функций. В X в. Абу-л-Вафа с помощью весьма тонких интерполяционных приемов сумел вычислить sin 30' с точностью до 10^-8. Он же составил и таблицы синусов с шагом в 15'. В Европе таблицы синусов стали известны около 1187 г., после того как Герардо Кремонский выполнил перевод сочинения аз-Заркали «Canones sive regulae super tabulas astronomiae» («Правила составления астрономических таблиц») — введения к «Толедским астрономическим таблицам».

Повышение требований к точности вычислений стимулировало составление новых, более точных и удобных для использования тригонометрических таблиц. Начало этим весьма трудоемким работам положили ученые Венского университета: Иоганн Гмунден составил таблицы синусов с шагом в 30', а учитель Региомонтана Пурбах в своих таблицах выбрал шаг в 10'. Поскольку понятие десятичных дробей еще отсутствовало, синусы, т. е. отношения длин соответствующих линий к длине радиуса окружности тригонометрического круга, выражались целыми числами, для чего радиус—«sinus totus» — «полный синус» — также выражался достаточно большим целым числом, обычно в десятирично-шестидесятеричной системе счисления. У Птолемея этот радиус был принят равным 60, у аз-Заркали - 150, у Пурбаха - 60000, позже - 600000. У Абу-л-Вафы и ал-Бируни радиус принимался равным единице.

Региомонтан составлял таблицы синусов трижды. Первые его таблицы с шагом в 1' и R = 60000 были разработаны в Италии до 1463 г. Эти таблицы распространились в копиях, а также были напечатаны в 1490г. уже упоминавшимся Эрхардом Ратдольтом. Он поместил эти таблицы в приложение к книге Региомонтана «Tabulae directionum» (Таблицы направлений). Более точные таблицы синусов, уже с радиусом 6000000 (а для серии узловых углов, применяемых для интерполяции, даже 6000000000), появились несколько лет спустя. Наконец, третьи таблицы синусов были составлены Региомонтаном уже во время его пребывания в Венгрии в 1468 г., и радиус в них был равен 10000000. Это были первые тригонометрические таблицы, построенные на десятичной основе. Вторая и третья таблицы были опубликованы Шёнером только в 1541 г., на восемь лет позже региомонтановой «Тригонометрии». Нам трудно себе представить колоссальную работу, которую необходимо было провести Региомонтану для создания этих фактически семизначных таблиц с шагом в одну минуту! И это в условиях полного отсутствия каких-либо вспомогательных вычислительных средств.

руя эти и другие известные ему соотношения между синусами и косинусами целых и половинных углов, об получает в конце концов с большой точностью sin 1°30' и sin 45', а затем с помощью интерполяции вычисляет ряд промежуточных значений, перепроверяя правильность получаемых результатов различными способами.

Находясь в Венгрии, Региомонтан составляет еще одну весьма своеобразную по форме и содержанию таблицу, предназначенную для выражения произведения синусов двух углов через синус некоторого третьего угла, sin а =sin A * sin с.

Эти таблицы привлекают внимание по двум причинам. Отличие в форме состоит в том, что один из аргументов располагается в горизонтальных строчках, а другой — в вертикальных столбцах, искомая же функция находится на пересечении соответствующих строчек и столбцов. Такие таблицы в наше время хорошо известны, их называют «таблицами с двойным входом», но так их назвал сам Региомонтан, применивший их первым в Европе (у арабов такое построение таблиц применялось задолго до Региомонтана). Что касается содержания, то фактически таблицы предназначались для облегчения вычислений по сферической теореме синусов,  которая  в  средние  века  выражалась  в виде

sin a / sin A = sin с / sin tot, откуда при sin tot = l и получаем sin a = sin A * sin с. По существу, мы встречаемся здесь с ранней попыткой реализации идеи об облегчении выполнения действий второй ступени (здесь — умножения) над тригонометрическими функциями с помощью предварительно найденных составителем таблиц результатов таких действий.

К сожалению, эти таблицы увидели свет только через полсотни лет после их составления и через 40 лет после смерти их составителя: они были напечатаны в 1514 г. под названием «Tabulae primi mobilis» («Таблицы первого движущегося»). Еще через полсотни лет развитие этой идеи приведет к разработке простаферетических методов вычислений, а ровно через сто лет, в 1614 г., появятся первые таблицы логарифмов.

По-видимому, после 1464 г. познакомившись с трудами ал-Баттани, Региомонтан уяснил возможную роль тангенсов при решении треугольников и, не имея в своем распоряжении таблиц этих функций, составленных арабскими учеными, сам принялся за их разработку, став тем самым первым в Европе математиком, создавшим и применившим таблицы тангенсов. Таблицы были изданы в 1490 г. под названием «Tabulae foecundae» («Плодородные таблицы»), чем, очевидно, подчеркивалась их полезность. И эти таблицы были составлены на десятичной основе (R = 1000000) с шагом в 1°, они довольно часто использовались впоследствии. Именно на свободном от текста листе этих таблиц поместил составленную им таблицу секансов Коперник.

В связи с изданием в 1541 г. семизначных таблиц синусов  с шагом в   1',  составленных  Региомонтаном

следует снова в тесной связи вспомнить его имя рядом с именем   Коперника.    Менее   чем через год,   в   мае 1542 г., в  Виттенберге    вышла уже    упоминавшаяся книга Коперника «О сторонах и углах треугольников». В ней, кроме весьма компактного и во многом оригинального изложения основ плоской и сферической тригонометрии, имеется и «Канон половин хорд удвоенных дуг», таблицы синусов, кстати, впервые в истории математики совмещенные с таблицами косинусов, с радиусом в 10 000 000 и шагом в 1', т. е. с теми же параметрами, что и у  таблиц Региомонтана.  Возникает вопрос: кем были составлены эти таблицы? Они не могли быть позаимствованы из только  что опубликованных таблиц Региомонтана, так как отличаются от них по форме и построению, а также по составу опечаток. Некоторые исследователи   полагали, что эти   таблиц были созданы Г. И. Ретиком, по инициативе которого данная книга была    издана. Представляется,    однако, что основания для такого предположения явно недостаточны: составление семизначных таблиц тригонометрических функций в те времена, когда отсутствовал вспомогательные вычислительные средства, было весьма трудоемким и длительным мероприятием.  К тому же Ретик не располагал необходимым для этого временем ни до, ни после посещения Коперника в Фромберке и возвращения в Виттенберг в конце 1541 г. Πρиходится склониться к предположению, что эти таблицы были составлены самим Коперником после завершения работы    над   рукописью    книги «О вращении небесных сфер». И здесь Коперник проявил себя как искуснейший   вычислитель    своего    времени. В книге «О вращениях небесных    сфер» он приводит таблицы синусов, составленные им для    радиуса в 100 000 и шагом в 10'.

Региомонтан и становление алгебры в Европе

До середины XVв. в средневековой Европе в течении нескольких столетий происходило усвоение двух важных достижений математики Востока - индийско-арабского способа обозначения чисел десятичной позиционной системы счисления и учения о решении уравнений не выше второй степени.  Оба этих достижения были связаны с деятельностью замечательного среднеазиатского ученого первой половины IX в. Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезмн. Алгебраический    трактат ал-Хорез-ми «Китаб мухтасар ал-джабр ва-л-мукабала»   («Краткая книга о восполнении и противопоставлении»)  оказался в числе самых первых математических сочинений, переведенных с арабского на латинский язык. Известны два перевода этого сочинения, выполненные в середине XII в. в Испании такими известными специалистами, как англичанин Роберт Честерский и итальянец Герардо Кремонский. Заметим, что термин «ал-джабр», фигурировавший в заглавии книги ал-Хорезмн, обозначал действие,   состоявшее   в   перенесении   отрицательного члена из одной части уравнения в другую, впоследствии этим словом стали называть целый раздел математики, нашу «алгебру». В своей   книге ал-Хорезми впервые в истории математики представил алгебру как науку об общих методах решения числовых линейных и квадратных уравнений. Правда, «алгебра» ал-Хорезми была бы для нас слишком непривычна — это была  «риторическая» алгебра, в которой все правила выражались в словесной, вербальной форме, буквенная символика отсутствовала.

Примерно в то же время был осуществлен перевод и второго важного сочинения ал-Хорезми, в котором рассматриваются правила действий над числами в десятичной системе счисления. За этим сочинением закрепилось название «Книга об индийском счете».

Следует отметить, что до середины XV в. европейцам было практически неизвестно основное и важнейшее произведение древнегреческого математика Диофанта Александрийского, также посвященное алгебре и относившееся к III в. н. э.

Выше говорилось о драматической судьбе научного наследия Региомонтана. Большинство его сочинений не было издано при его жизни, часть их появилась в печати через несколько десятилетий после его преждевременной смерти, некоторая часть так и осталась неопубликованной, многие, вероятно, утрачены навсегда. При всем этом нет оснований предполагать, что Региомонтан оставил после себя алгебраический трактат, который мог бы сыграть в истории математики столь же важную роль, как и его тригонометрия. Однако ученый его ранга, человек со столь ярко выраженным математическим талантом вряд ли мог пройти мимо проблем самой молодой тогда ветви математики, не сказав здесь своего веского слова. К тому же, кроме чисто личных данных, его занятиям алгебраическими проблемами особо благоприятствовали некоторые дополнительные факторы — Региомонтан оказался первым европейским математиком, который не только усвоил во всех тонкостях «Алгебру» ал-Хорезми и арифметику десятичных чисел, но и познакомился с сочинением Диофанта. Он ж оказался в числе первых ученых, приступивших к созданию символической алгебры, оперировавшей уже в со словами, и даже не с их сокращенными записями, с заменявшими их символами, значками.

Как уже упоминалось, сохранилась довольно объемистая рукописная «книга счета»⁴, «Rechenbuch», в которую Региомонтан записывал те математические сведения, которые он изучал, а позже и разрабатывал период учебы и последующего пребывания в Вене. Имеется здесь и алгебраический материал, косвенно свидетельствующий о том, что Региомонтан был знаком «Алгеброй» ал-Хорезми. Здесь приводится, например та же классификация видов уравнений, которая была разработана последним, с тем чтобы все коэффициенты уравнения были положительны, — понятие отрицательного числа еще отсутствовало. Вот эти виды:

1)   «квадраты равны корням», т. е. в современн записи ах²=bх;

2)   «квадраты равны числу», т. е. ах²=с;

3)   «корни равны числу» — bх=с;

4)   «квадраты  и  корни  равны  числу» — ах²+bх=c;

5)   «квадраты и числа равны корням» — ах²+с=b;

6)   «корни и числа равны квадрату» — bх+с=ах².

Имеются и другие сведения по алгебре, например довольно объемистые таблицы квадратов и кубов ч сел, составленные самим Региомонтаном и используемые им для приближенного извлечения квадратных кубических корней, но об этом речь пойдет в друг месте.

Сохранились и прямые доказательства того, что Региомонтан хорошо знал «Алгебру» ал-Хорезми и специально занимался ее изучением. В свое время, в 1522 и в 1563 гг., были составлены перечни сохранившихся на то время рукописей библиотеки Региомонтана. В перечне 1512 г. упоминается некая «Algebra». Это упоминание особого интереса для нас не представляет. Но вот в перечне 1522 г. значится «Liber, in quo Mahumethi de algebra etc., item flores arithmetice», т. е. «Книга, в которой Магомет об алгебре и т. д., а также цветы арифметики», что, несомненно, обозначало «Алгебру» Мухаммада ал-Хорезми и какую-то арифметическую рукопись. В перечне 1563 г. это название отсутствовало, и считалось, что эта рукопись утрачена навсегда.

Но вот сравнительно недавно была подвергнута изучению рукопись «Codex Plimpton  188»  из библиотеки Колумбийского университета в Нью-Йорке   [25]. В ней в одном переплете соединены несколько сочинений разного содержания   и   времени.   Для нас особый интерес представляют два первых, составляющих листы с 1 по 96. На л. 96 об. имеется и дата — 1456 г., проставленная,  скорее всего рукой Региомонтана. Первая из этих   рукописей   (лл. 1—70) носит название «Flores arithmeticae» («Цветы  арифметики»).   Это  сочинение, написанное неизвестной рукой, но с собственноручными пометками и замечаниями Региомонтана, представляет собой изложение математического трактата «Quadripartitum numerorum»,   («Четверокнижия о числах»)   француза Жана де Мера, относящегося к середине XIV в. и написанного, как показал Л. Ч. Карпинский [95], под сильным влиянием ал-Хорезми. Пометки Региомонтана свидетельствуют о том, что он, внимательно штудируя это сочинение, основательно познакомился с творчеством родоначальника алгебры. Есть все основания считать, что эта та самая рукопись, которая упоминается в перечне библиотеки Региомонтана 1522 года.

Но еще о большем говорит нам второе сочинение из того же кодекса (л. 73об.— 96об). Начинается оно так: «Liber Mahucmeti⁵ de Algebra et almucabala, id est recuperationis et oppositionis. Prologus» («Книга Магомета об алгебре и алмукабале, т. е. восполнении и противопоставлении. Введение»). На этот раз речь идет уже о непосредственной копии «Алгебры» ал-Хорезми в переводе Герардо Кремонского. С большой степенью вероятности можно утверждать, что данная копия выполнена самим Региомонтаном, хотя и имеются отклонения при напи сании некоторых цифр, в частности 4, 5 и 7. Впрочем именно в те годы только стало устанавливаться обще принятое сейчас начертание цифр. «Алгебра» ал-Хорезми занимает здесь, собственно, только лл. 73об.—82. Затем, на лл. 82—93об. идут собственноручные заметки добавления Региомонтана, среди них — числовые загадки, ведущие к системе линейных уравнений (л. 88-89об.), и другие примеры, которые можно отнести к занимательной математике, примеры на все шесть видов уравнений по ал-Хорезми (лл. 85об.— 88), заметка об извлечении квадратных корней (лл. 91—92об.), а такж теоретико-числовая задача о нахождении числа, дающего при делении на 3, 5 и 7 в остатке соответственно, 2, 4 и 1 (с методом решения) (л. 93об.), в современно записи N=2 (mod 3)=4(mod 5)=1 (mod 7).

Эта задача встречается и ранее, например в древнекитайском трактате Суньцзы, относящемся к III в., метод ее решения излагался китайским математиком Цин Цзюшао в XIII в. Впрочем в Европе, до Региомонтана задачи этого типа имеются в «Книге абака» Леонард Пизанского (1202). Региомонтан и в дальнейшем занимался такими задачами в переписке с научными коллегами. Здесь Региомонтан предлагает своим коллегам задачи, которые в современных обозначениях выглядят так:

N=15 (mod 17) = 11 (mod 13)=3 (mod 10); [54, S. 21 N 8] и N=12 (mod 23)=7 (mod 17)=3 (mod 10); [Ibi S. 295, N 6].

Трудно сказать, владел ли Региомонтан общим методом решения задач такого типа, но сам по себе интерес, проявленный Региомонтаном к задачам, относящимся сейчас к теории сравнений, разделу теории чисел, который рассматривает целые числа в их связи остатками от деления на фиксированное натуральное число — модуль, теории, разрабатывавшейся такими первоклассными математиками, как Ферма, Эйлер, Лежандр, Лагранж, Гаусс и Дирихле, весьма примечателен.

Итак, непосредственная связь творчества Региомонтана с наследием ал-Хорезми прямо устанавливается наличием данной рукописи. Но главное ее значение, пожалуй, даже и не в этом. Именно здесь мы встречаемо первыми в Европе попытками применения специальных сокращений для обозначения алгебраических величин и действий над ними, если только рукопись в самом деле относится к 1456 г., как в ней указано.

Дело в том, что здесь впервые у Региомонтана и впервые в Европе появляются следующие обозначения: неизвестное, наше х, обозначается в нескольких местах готическим R (л. 83об. и 84), реже готическим τ (л. 85об.— 88об.) —последнее обозначение позже удерживается и у Региомонтана, и у многих последующих ученых), причем знак этот пишется, как верхний индекс у коэффициента (как наш показатель степени). Вводится специальный знак и для квадрата неизвестного (тоже как верхний индекс при соответствующем коэффициенте) — готическим с, четвертая степень обозначается двойным таким знаком — cc. Знак равенства у Региомонтана представляет собой вытянутую горизонтальную черту  ------.    Знак    «минус»    обозначается    символом ig, «плюс» передается стилизованным латинским «et» = и, а значит фактически не сокращается. Без сокращения обозначается и куб неизвестного «cubus». Употребляется граничащее с символом сокращение и для (квадратного) корня — готическое R, например, R de 8 обозначает √8, но ³√7 Региомонтан записывает так: R cubica de 7. (Применяемые в тексте обозначения лишь приближенно передают оригиналы).

Напомним, что еще недавно появление алгебраической символики в Европе связывалось с анонимной Дрезденской рукописью С.80 (ок. 1480), с рукописью француза Никола Шюке (1484) и, наконец, с книгой итальянца Луки Пачоли «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», написанной в 1487 г. и изданной в Венеции в 1494 г. Затем было установлено, что регенсбургский ученый монах Фридрих Герхард (ум. в 1464—1465) употребил алгебраическую символику в рукописи, относящейся к 1461 г. [24], а Региомонтан применил свою символику в письмах к Бьянкини в 1463 г. Теперь же потолок поднят еще на 5 лет, и приоритет во внедрении алгебраической символики закрепляется за героем нашей книги, впрочем, не исключаются в будущем и новые находки, которые смогут пролить дополнительный свет на истоки алгебраической символики.

Остановимся на символике Герхарда. Неизвестное он обозначает готической буквой R или латинскими буквами со  (res, radix или cosa), квадрат неизвестного — готическими δ или с (census). Для x употребляется также символ готическая δ (Ding). Вот запись нескольких уравнений у Герхарда:

Как видим, Региомонтан идет несколько дальше Герхарда — введен знак равенства — вместо «ist gleich» или «equatur», несколько проще обозначения неизвестного и «минуса», отсутствует «numero» при свободном члене.

Интересен еще один случай использования Региомонтаном своей символики: во второй книге своей тригонометрии две задачи  (№№ 12 и 23) ученый решает методами алгебры. Одна из этих задач посвящена вычислению треугольника по основанию, высоте и отношению боковых сторон. Для нас не так важно, что Региомонтан не знаком с геометрическим решением этой задачи — с помощью геометрического места точек, расстояния которых до двух данных точек находятся в данном отношении, так называемой окружности Аполлония. Это решение, известное еще древним грекам, Региомонтан сводит  к решению  квадратного  уравнения 25x² + 3125 - 500х = 9х² + 180 + 1125.   В   печатном   тексте 1533 г. и последующих изданий это уравнение выражено словесно, как и уравнение задачи №23: 1/4x² + 136 - 6x = 4x²+9/4x—6x. Это дало повод Б. Юзу, одному из издателей и переводчиков «тригонометрии» на английский язык, заметить, что здесь «алгебра скорее словесная  (риторическая), чем синкопическая или символическая» [62, р. 8]. Однако соответствующие места оригинала этой книги, хранящегося в Ленинградском отделении Архива АН СССР   [29], снабжены собственноручными пометками Региомонтана на полях. Возможно сделанные уже спустя некоторое время после завершения основной части работы над рукописью, они содержат те же символы, которые ученый употребил в источниках, о которых шла речь выше. В дальнейшем, обратившись к открытию Региомонтаном рукописи «Арифметики»   Диофанта,   можно   еще   раз   убедиться,   что ученый последовательно внедрял и распространял идеи символической алгебры. То, что он первым из европейских математиков применил алгебраическую символику,— факт, еще недавно остававшийся неизвестным. Именно в свете этого факта необходимо пересмотреть роль Региомонтана в становлении алгебры. Поэтому замечание известного западногерманского историка математики В. Каунцнера о том, что «Региомонтан представляется одним из наиболее ранних из известных в настоящее время авторов обработки учения ал-Хорезми об уравнениях в XV в., пользующимся к тому же и символикой, по меньшей мере равноценной той, которую применяли его современники» [87, с. 124], нуждается в усилении.

Одной из важных проблем алгебры, пути решения которой долго оставались скрытыми от взоров ученых, была проблема уравнений третьей и четвертой степени общего вида. Еще в конце XV в. Лука Пачоли писал, что для решения кубических уравнений «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга». Заметим, что задача о квадратуре круга, т. е. о построении квадрата, равновеликого кругу, которой занимались современник Региомонтана Николай Кузанский и (в связи с его работами) сам ученый, впоследствии оказалась вообще неразрешимой: построить квадрат, площадь которого точно равнялась бы площади данного круга, с помощью традиционных инструментов — циркуля и линейки было невозможно. Что же касается задач решения кубического уравнения и уравнения четвертой степени, то они были полностью решены уже в первой половине XVI в. Но первые попытки поиска ключа к этой проблеме опять-таки связаны с именем Региомонтана. Для такого утверждения можно найти достаточно доказательств в принадлежащих Региомонтану текстах из рукописи Plimpton — 188 [25], а также в его научной переписке.

Вот некоторые факты. Рассматривая частный случай кубического уравнения вида 1x²*2x=3x², Региомонтан заключает «est ergo cubus equalis 3/2 census», т. е. «следовательно, куб неизвестного равен 3/2 его квадрата» [25, л. 82об]. Там же он замечает: «due 2 res in censum fiunt 2 cubi», т. е. «умножь 2 вещи на квадрат, получится два куба 2x-x²=2x³». Далее (л. 90об.), явно следуя ал-Хорезми с его выделением 6 видов уравнений первой и второй степени, он приводит 18 форм поддающихся решению уравнений третьей и четвертой

⁶

Большинство из этих уравнений легко приводятся к квадратным, только в трех случаях — к частным простейшим кубическим. Примечательна, однако, сама попытка развить здесь идеи ал-Хорезми.

Ал-Хорезми, следуя, очевидно, Евклиду, решение некоторых квадратных уравнений поясняет геометрическим путем, используя понятие равновеликости квадратов и прямоугольников. Этим же путем в ряде случаев идет и Региомонтан. Так, одна из задач [25, л. 54] приводит к системе 60 = ху = (х + 2) (y — 5). Исключая y, Региомонтан решает алгебраически соответствующее квадратичное уравнение и тут же дает ему геометрическую интерпретацию: исходя из прямоугольника 5*2, он строит подобный ему прямоугольник x*(у — 5), площадь которого вместе с площадями трех других, дополняющих его до прямоугольника (х + 2)*(y — 5), составляла бы 60. В другом случае [25, л. 91 об.] эта же интерпретация используется  для  решения  системы  иррациональных  урав-

где ху—квадратное число,   т.е. точный квадрат.

Ссылаясь далее на четвертое предложение II книги «Начал» Евклида, Региомонтан приходит к выводу, что при получении выражения для куба суммы (а + b)³ умножением на (а + b) выражения (a + b)² = a² + 2аb + b² интерпретацию этого выражения приходится связывать с выходом в трехмерное пространство. При этом он замечает: «также и другие предложения II книги Евклида, относящиеся к плоскости, можно аналогичным путем перенести на кубы и тела» [25, л.  44 об.].

В заметках Региомонтана, следующих в рукописи за текстом «Алгебры» ал-Хорезми, рассматривается задача: «Сколько процентов выплачивается из капитала в 100 гульденов, если за три года капитал возрастает до   265   гульденов?».   Она  сводится   к   реше-

Подобная идея несколько десятилетий спустя (1533) привела Н. Тарталью к полному решению данной задачи; вскоре Л. Феррари нашел и общий метод решения уравнений четвертой степени.

В 1464 г. Региомонтан в письме к своему научному корреспонденту Дж. Бьянкини ставит проблему решения кубических уравнений [54, S. 219, № 6]. В ответном письме [54, S. 236] тот приводит правильное решение и замечает, что его он дал уже в своем сочинении «Liber florum» («Книга цветов»). Сочинение Бьянкини «Liber florum almagestum» («Книга цветов Альмагеста»), о котором идет речь, дошло до нас во многих копиях, но найти в них упоминаемое правило не удалось.

Представляется чрезвычайно важным тот малоизвестный факт, что Региомонтан, разыскав греческий оригинал знаменитого алгебраического сочинения Диофанта Александрийского, первым из европейских ученых не только познакомился с ним, но и предпринял шаги для распространения и развития идей этого замечательного памятника древнегреческой науки.

11 февраля 1464 г. Региомонтан писал Дж. Бьянкини: «Я обнаружил сейчас в Венеции Диофанта, греческого  арифметика, который   еще не   переведен на   латинский язык. В своем предисловии («Prooemium») при определении терминов этого искусства он доходит до «кубо-куба». Первое он называет «numerus» — «число», которое называется у нас «res» («вещь»), второе — «potentia»⁷, а мы говорим «census», затем «cubus», затем «potentia potentiae», что у нас называется «census de censo», затем «cubus de censi» и, наконец, «cubus cubi». Все же я не знаю, рассмотрел ли он все комбинации, обнаружено шесть книг его произведения, которые сейчас находятся в моих руках, однако в своем предисловии он обещает написать тринадцать. Если это произведение, которое в самом деле является выдающимся и очень трудным, удастся разыскать полностью, то я позабочусь о том, чтобы перевести его на латинский язык, для этого моих познаний в греческом, которые я приобрел в доме моего почтеннейшего господина (кардинала Виссариона.— Ю. Б.), будет достаточно. Настоятельно прошу Вас разузнать, не найдется ли у Ваших знакомых полного текста этого сочинения. Ведь в Вашем городе Ферраре проживает несколько знатоков греческой литературы, у которых среди других могут быть и рукописи этого сорта. Я же, если и Вы мне это посоветуете, переведу это сочинение на латинский язык, так как латынь уже доросла до этой новой и исключительно ценной задачи»   [54, S.  256—257].

Из этого письма следует прежде всего, что Региомонтан в самом деле обнаружил в конце 1463 г. или в самом начале 1464 г. греческий текст знаменитого произведения одного из величайших математиков древности Диофанта Александрийского — его «Арифметики», правда, неполный, всего шесть книг из тринадцати. Еще четыре книги в арабском переводе Косты ибн Луки лишь недавно были найдены в Мешхеде и изданы Р. Рашедом по-арабски в Египте и с французским переводом — во Франции, а с английским переводом Ж. Сезиано — в США (см. с. 39). Остальные книги не обнаружены до сих пор.

Сочинение Диофанта в истории математики занимает особое место. О жизни этого мыслителя прошлого почти ничего достоверно не известно. По косвенным данным считают, что его деятельность приходится на середину III в. Ниже приводится легендарная эпитафия Диофанта, являющаяся прекрасным образцом словесно-стихотворной задачи на составление уравнений  (перевод С. П. Боброва):

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его

прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Решение простейшего линейного уравнения, составленного по этому тексту, свидетельствует: Диофант дожил до глубокой старости — до 84 лет, что для того времени было уделом лишь очень немногих. Тем более загадочно, почему столь долгая жизнь такого выдающегося ученого почти не оставила следов в истории, кроме, разумеется, его бессмертного произведения. Но и это произведение хранит много тайн. По составу задач, методам их решения, по алгебраической трактовке величин и действий над ними оно представляет собой необычное, феноменальное явление в античной науке, особенно в период ее явственного упадка.

В первой книге своего сочинения Диофант рассматривает задачи, приводящиеся к определенным уравнениям вида ах=b или ах²=b, имеющим только одно положительное рациональное решение. Здесь же он впервые в истории науки пытается разработать систему символов, в том числе следующие:

Применялись Диофантом и другие символы для сокращения записи. В настоящее время считается общепризнанным, что Диофант был первым ученым, предпринявшим попытку создания буквенной символики. Однако европейские ученые возвратились к той же идее, по-видимому, независимо от Диофанта: у Региомонтана, а вслед за ним у Фридриха Герхарда мы встречаем буквенную символику с 1456г., рукопись же Диофанта обнаружена Региомонтаном не ранее конца 1463 г., причем, как видно из приводимого текста письма, он говорит о символике Диофанта, как о чем-то, что хорошо известно не только Региомонтану, но и его корреспонденту Бьянкини. Во всяком случае у нас есть все основания утверждать, что Региомонтан был первым в Европе математиком, который стал употреблять алгебраические символы, и притом независимо от найденного им сочинения Диофанта.

Не следует думать, что все достижения Диофанта заключаются в попытке разработки символической алгебры — большинство из 189 задач шести книг «Арифметики» Диофанта посвящено решению неопределенных уравнений и их систем, например:

Теория неопределенных уравнений — диофантов анализ — находится на стыке алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел и до сих пор привлекает внимание крупных ученых. Над ее проблемами работали такие замечательные ученые, как П. Ферма (XVII в.), Л. Эйлер (XVIII в.), К. Якоби (XIX в.), Д. Гильберт и А. Пуанкаре (конец XIX — первая четверть XX в.) и др. Но еще в XV в. под влиянием открытого им сочинения Диофанта этими проблемами занимается Региомонтан. Вот несколько проблем, поставленных ученым в переписке с коллегами:

Решить системы:

Региомонтан не указывает пути решения этих проблем, но на полях письма приводит целочисленные решения первой системы: 114, 87 и 39. Предложенное Якобом Шпейером решение [54, S. 300] его не удовлетворяет.

Не прошла мимо внимания Региомонтана и теория чисел. Как уже говорилось, он еще в венские годы занялся совершенными числами, имеющими вид (2^Р—1)*2^Ρ-1, если только 2^Р-1—1 простое число. Четыре первых таких числа были известны еще в древности. Региомонтан одновременно с Фридрихом Герхардом, но независимо от него находит пятое совершенное число: (2¹³-1)*2¹²=8191*4096=33 550 336 и указывает на произведение (2¹⁷—1)*2¹⁶ как на шестое совершенное число. Впервые оно приводится у Й. Шейбла только через 100 лет, в 1555 г.

К теории чисел принадлежат и задачи, которые Региомонтан предложил своим коллегам по научной поре-писке, не приводя их решений:

1.  Найти четыре квадратных числа (квадрата чисел), сумма которых также квадратное число [54,

S. 296, № 7]. Ответ Якоба Шпейера: 1, 4, 16, 100 или 4, 16,49, 100 [Ibid, S. 300].

2.  Найти двадцать квадратных чисел, наименьшее из которых больше, чем 30 000, сумма которых — также квадратное число [Ibid, S. 334].

3.  Найти три квадратных числа, образующих гармоническую прогрессию  [Ibid, S. 296, № 10].

4.  Найти три числа, образующих гармоническую прогрессию и меньшее из которых больше, чем 500 000 [Ibid, S. 334].

5.  Найти три квадратных числа, образующих арифметическую прогрессию, из которых наименьшее больше, чем 20 000 [Ibid, S. 334].

Эти задачи тесно связаны с диофантовым анализом, и нет основания считать, что, предлагая их своим коллегам, сам Региомонтан не владел методами их решения.

Региомонтана интересовали и другие математические проблемы его времени, при этом он подчас получает результаты, достойные упоминания и в наши дни. Вот характерный пример: работая над имевшейся у него рукописью «Начал» Евклида в переводе Кампано, ой останавливается на предложении 32 из первой книги («Теорема о сумме углов треугольника») и совершает здесь интересный экскурс в теорию звездчатых многоугольников. Сам Кампано в этом месте рассматривает звездчатый пятиугольник и находит сумму его острых углов. Позже Брадвардин без доказательства высказывает предположение, что сумма углов звездчатого многоугольника равна (n—4)*2d (d=90°), и замечает, что из звездчатого многоугольника можно продолжением его сторон получить другой звездчатый многоугольник. Региомонтан классифицирует звездчатые многоугольники по числу сторон, пересекаемых каждой его стороной. Используя теорему о внешних углах многоугольника, Региомонтан доказывает, что если сторона каждого из них пересекает две другие, то сумма углов многоугольника на 8 прямых углов меньше, чем удвоенное число его вершин, т. е. S_n=(2n—8)d. Идя далее, Региомонтан формулирует теоремы о суммах углов звездчатых многоугольников 2-го и 3-го порядка, каждая из сторон которых пересекает 4 или 6 других сторон. Он полагает, что S_n⁽²⁾=(2n-12)d и S_n⁽³⁾=(2n-20)d. Правда, последнее предположение ошибочно, должно быть S_n⁽³⁾=(2n—16)d. Региомонтан указывает также, что звездчатый многоугольник второго порядка может быть образован только при n≥5, а 3-го — при n≥9. По-видимому, только в начале XIX в. Л. Пуансо показал, что сумма углов звездчатого n-угольника к-го порядка может быть выражена соотношением S_n^(k) = (n— (2k + 2))*2d.

Региомонтан хорошо знал произведения Архимеда, в частности «О коноидах и сфероидах», планировал их издание, написал комментарий к ним, к сожалению, до нашего; времени не дошедший.

Проблема числа π и связанная с ней задача о квадратуре круга также не прошли мимо внимания Региомонтана: критикуя попытки решить эти проблемы, предпринятые Николаем Кузанским, которые Региомонтан охарактеризовал как неясные и неточные, он и сам не смог добавить ничего существенно нового: тогдашняя математика не была готова к решению этих проблем. Только около ста лет тому назад, когда в 1882 г. Ф. Линдеман доказал трансцендентность числа π, стало ясно, что точное решение задачи о квадратуре круга с помощью традиционных инструментов — циркуля и линейки — невозможно. Работы Николая Кузанского и Региомонтана по этому вопросу были даны Шонером в качестве приложения к тригонометрическому сочинению   Региомонтана   [13]   и   недавно   переизданы   [22, № 56].

Примечания

1. Архив АН СССР, ЛО, ф. 4, оп. 1, д. 936.

2. В тексте оригинала ошибочно указано AD вместо GD.

3. В тексте оригинала описка: прямым назван угол AВD, должно быть ADB.

4. Австр. нац. б-ка, Codex 5203.

5. «Mahucmeti» — искаженное «Магомет» или «Мухаммед», как принято сейчас.

6. Аналогичную классификацию можно найти и у итальянских математиков того времени. См.: Матвиевская Г. П. Развитие учения о числе в Европе. Ташкент: Фан, 1971, с. 88.

7. Греческие термины Диофанта Региомонтан тут же переводит на латынь.