В. А. Бронштэн

КЛАВДИЙ  ПТОЛЕМЕЙ

* Предисловие * Глава 1 - Место и время действия * Глава 2 - Астрономия в Вавилоне и Греции до Гиппарха * Глава 3 - Астрономические исследования Гиппарха * Глава 4 - Краткое содержание  «Альмагеста» * Глава 5 - Мировоззрение  Птолемея * Глава 6 - Небесная сфера: расчеты и измерения * Глава 7 - Теория движения Солнца * Глава 8 - Теория движения Луны * Глава 9 - Звездный каталог * Глава 10 - Теория движения планет * Глава 11 - «Преступление Клавдия Птолемея» * Глава 12 - Работы Птолемея в области географии * Глава 13 - Работы Птолемея в области оптики * Глава 14 - Математика и музыка * Глава 15 - Птолемей и астрология * Глава 16 - Судьба  «Альмагеста» * Глава 17 - От эпициклов Птолемея к законам Кеплера * Птолемеи и Коперник (послесловие редактора) * Литература *

Глава 8

Теория движения Луны

Теория движения Луны — задача намного более трудная, чем задача о видимом движении Солнца, в котором как бы отражается реальное обращение Земли вокруг Солнца. Мы уже приводили в гл. 3 ряд свидетельств в пользу этого заключения. Но чтобы сразу понять, в чем дело, посмотрим па обе задачи с современной точки зрения.

Земля обращается вокруг Солнца под действием его притяжения. Влияние других тел Солнечной системы — планет — ничтожно по сравнению с притяжением Солнца. Самая крупная из планет — Юпитер уступает Солнцу по массе в 1000 раз, а кроме того, она находится от Земли в среднем в 5 раз дальше, и из-за одного этого ее притяжение еще в 25 раз слабее. Венера гораздо ближе, порой в 3,5 раза ближе Солнца, но ее масса уже в 400 тыс. раз меньше солнечной, значит, ее притяжение слабее солнечного в 35 тыс. раз. Действие других планет еще слабее: Сатурн уступает Юпитеру втрое по массе и находится вдвое дальше, Уран и Нептун — еще дальше и меньше, Марс — дальше и меньше Венеры, о Меркурии и говорить нечего.

И все же действие планет влияет на движение Земли. На его долю приходится 18' из 1° 43' смещения перигелия Земли (или перигея Солнца), остальное — следствие прецессии. Сама прецессия частично вызывается действием Луны, малая ее часть — действием планет, остальное — опять-таки Солнцем. Под действием притяжения планет происходит вековое изменение не только долготы перигелия, но и других элементов орбиты Земли, в частности эксцентриситета. Сейчас эксцентриситет земной орбиты медленно убывает. Примерно через 35 тыс. лет он достигнет минимума — значения 0,002 (сейчас он равен 0,017), затем начнет расти, достигая в некоторые эпохи величины 0,05 — почти как у орбиты Луны [79].

Луна — спутник Земли. И в этом вся трудность построения ее теории. Массивное Солнце теперь надо рассматривать как возмущающее тело. Посмотрим, велико ли возмущающее ускорение Солнца по сравнению с ускорением, сообщаемым Луне Землей. Возмущающее ускорение Солнца — это разность ускорений, сообщаемых им Луне и Земле. В эпохи новолуний и полнолуний, когда Солнце, Луна и Земля находятся на одной прямой, это ускорение достигает своего максимального значения

где f — постоянная тяготения; M_o —масса Солнца; r —расстояние от Земли до Луны, R — расстояние от Земли до Солнца. Напишем теперь ускорение, сообщаемое Луне Землей:

Подставив числовые значения M_o/M₊ = 332 000, R/r = 390, получим g_o/g₊ = ¹/₉₀. Итак, действие Солнца может достигать более чем одного процента действия центрального тела — Земли. И вдобавок это действие все время меняется в ходе обращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца.

Вот в этом и состоит причина необычайной трудности теории движения Луны. Даже со времен Ньютона на создание полной динамической теории Луны ушло почти три столетия.

Но вернемся к Клавдию Птолемею. Что было в его распоряжении для построения хотя бы кинематической теории движения Луны? А такая теория была нужна, потому что наблюдения Луны использовались для определения долгот на земной поверхности, не говоря уже о предсказании солнечных и лунных затмений. Ведь Птолемей занимался и географией, и астрологией. Итак, что же у него было?

Были наблюдения солнечных и лунных затмений, выполненные в древнем Вавилоне, затем в Греции, на Родосе (Гиппархом) и в Александрии (в том числе его собственные наблюдения), почти за девять веков. Были позиционные наблюдения Гиппарха и его, Птолемея. Были точные определения длительности четырех лунных месяцев, полученные Гиппархом из его знаменитых циклов. Были основы теории, заложенные тем же Гиппархом. Дальше надо было действовать самому.

И вот перед нами книга IV «Альмагеста». Птолемей ни на минуту не забывает, что он пишет руководство по астрономии, хотя, конечно, не имеет представления о том, что пишет на века. И не на один-два века, а на целых пятнадцать.

Какие наблюдения Луны можно использовать для построения точной теории ее движения? Выбор большой: наблюдения солнечных и лунных затмений, соединений Луны с яркими звездами³, покрытий звезд Луной, просто позиционные наблюдения с угломерным прибором. Но из всей массы наблюдений Птолемей выбирает один их вид — наблюдения лунных затмений. Они много точнее всех остальных, потому что моменты начала и конца лунного затмения не зависят от положения наблюдателя на Земле. Моменты же солнечных затмений, покрытий звезд Луной, соединений, положение Луны относительно звезд от положения наблюдателя зависят. Причина состоит в том, что орбита Луны не располагается столь далеко от нас и имеет место параллактическое смещение Луны в зависимости от положения наблюдателя. (Позже Птолемей определит лунный параллакс и приблизительно расстояние до Луны).

Александрийскому астроному было известно, что солнечное затмение в разных местах Земли наступает неодновременно (даже если учесть разность долгот) и имеет, как говорят теперь, разную величину: Луна закрывает в разных городах различные части солнечного диска. А то, что Солнце во время затмения закрывается именно Луной, это было известно еще Аристотелю [7]. Точно так же именно Аристотель объяснил причину лунных затмений: Луна попадает в тень, отбрасываемую Землей. Круглая форма земной тени доказывала шарообразность Земли.

Но ведь момент вхождения и выхода Луны из земной тени не зависит от положения наблюдателя. Где бы мы ни находились, мы увидим эти явления в один и тот же момент. Это важное соображение подсказало Птолемею выбор: использовать в первую очередь лунные затмения. В момент середины затмения Луна находится диаметрально противоположно Солнцу. А теория движения Солнца уже построена, его долготы на любой день и час можно вычислить по таблицам книг II и III. Значит, и положение Луны в момент середины затмения нам точно известно⁴.

Приступая к построению своей теории, Птолемей сначала вычисляет средние суточные движения Лупы по долготе (относительно точки весеннего равноденствия), по аномалии (относительно перигея лунной орбиты), по широте (относительно ее узла) и по элонгации (относительно Солнца) [17. С. 179—180]. Затем он вычисляет средние движения Луны за час, за месяц (30-суточный), за год и за 18-летний цикл [17. С. 182—187]. Таким образом, как и в случае Солнца, Птолемей начинает со среднего движения Луны и строит таблицу, позволяющую рассчитать четыре названных выше угла на любой день и час любого года от начала эры Набонассара (—746 г.) до 64 г. н. э. Причина такого ограничения — все те же 45 строк, которые можно было расположить на папирусе. Впрочем, по данным Птолемея таблицу легко можно было продолжить и на последующие годы и века.

Дальше Птолемей начинает вычислять первое, или простое, неравенство в движении Луны, аналогичное первому неравенству в движении Солнца. Еще раз доказав эквивалентность моделей с эксцентром и с эпициклом, он для дальнейших операций выбирает модель с эпициклом (эксцентр ему еще понадобится). Первое неравенство вызвано, по Птолемею, эксцентричным положением орбиты Луны относительно Земли. Но ради удобства геометрических построений и основанных на них расчетов Птолемей строит такую модель [17. С. 181, 188—190].

Пусть мы имеем (рис. 17) деферент AG с центром в D, совпадающий с эклиптикой (наклоном лунной орбиты пока пренебрегаем). По нему движется центр эпицикла. Пусть в момент прохождения Луны через апогей центр эпицикла будет в точке А, а сама Луна — в точке Е. Пусть далее за время, пока центр эпицикла опишет дугу AG, Луна пройдет дугу E'Z<AG (в дуговой мере). Все дальнейшие построения Птолемей строит только на эпицикле, изображая па своих графиках лишь центр деферента D. Он рассуждает так (рис. 18).

Рассмотрим движение Луны только по аномалии (напомним, что под углом аномалии Птолемей подразумевает угловое расстояние Луны от апогея ее орбиты; этот угол оп отсчитывает по эпициклу). Чтобы найти первое неравенство, Птолемею нужно определить отношение радиусов эпицикла и деферента. Тогда каждому значению угла аномалии AKL (отсчитываемому по эпициклу) будет соответствовать некоторый малый угол при точке D между направлениями   на   Луну   L и   на   центр   эпицикла   К

(<KDL). Соотношение между ними определяется из треугольника DKL, в котором радиус деферента DK считается известным и равным 60^р, радиус эпицикла KL определяется методом, который будет изложен ниже, а угол AKL (а значит, и <DKL в треугольнике DKL) служит аргументом. Таким образом, в треугольнике DKL известны две стороны и угол между ними, а этого достаточно, чтобы решить  треугольник  и найти интересующий нас

Но для этого требовалось определить радиус эпицикла, точнее, его отношение к радиусу деферента. Эту задачу Птолемей решает «методом трех затмений», предложенным еще Гиппархом. Метод этот состоит в следующем [17. С. 190-204].

Выберем тройку лунных затмений так, чтобы интервалы между соседними затмениями составляли от полугода до полутора лет⁵. Эти интервалы, очевидно, содержат целое число синодических месяцев (напомним, что лунные затмения происходят только в полнолуние), а за один синодический месяц Луна проходит на небе больше одного оборота как относительно звезд, так и относительно апогея своей орбиты. Поэтому в моменты затмений на эпицикле    (полный оборот по которому в  схеме  Птолемея Луна совершает за один аномалистический месяц) Луна будет находиться в различных его точках.

Зная точные моменты затмений и интервалы между ними, можно вычислить дуги эпицикла между этими точками. Но как найти положение первой точки? Птолемей поступает следующим образом. Он вычисляет разности долгот Солнца в моменты затмений (по составленным ранее таблицам Солнца). Очевидно, разности долгот Луны, находящейся точно против Солнца, должны иметь точно такие же значения. Но по таблицам среднего движения Луны получаются несколько иные значения. Разности между средними и истинными изменениями долготы Луны должны быть отнесены за счет первого неравенства. Искусно применяя далее некоторые геометрические теоремы, доказанные в свое время Евклидом, Птолемей определяет положение апогея Луны относительно трех точек на эпицикле, выражающих положения Луны во время затмений, и искомое отношение радиусов эпицикла и деферента.

Для решения этой задачи Птолемей выбрал две тройки лунных затмений: одну, наблюдавшуюся вавилонскими астрономами в VIII в. до н. э., и другую — по своим собственным наблюдениям. Приводим здесь данные об этих затмениях (табл. 1).

Определения размеров эпицикла по обеим тройкам затмений дали весьма близкие результаты: в единицах, где радиус деферента равен 60^р, радиус эпицикла получился 5;13^р и 5;14^р соответственно. Отсюда наибольшее значение первого неравенства, вычисляемое по формуле sin α = r/R (r, R — радиусы эпицикла и референта соответственно), составляет 5°01' (правильное значение 4°57'). Основываясь на полученном им значении максимального первого неравенства, с помощью своей геометрии и тригонометрии (по таблице хорд) Птолемей вычисляет далее таблицу первого неравенства для всех значений угла аномалии⁶.

Не случайно Птолемей взял свои две тройки затмений с таким большим интервалом во времени. Он берет средние затмения в каждой тройке и получает разность долгот и аномалий Луны в моменты середины каждого из затмений: по положению Луны в этот момент (определяемому из условия, что Луна в это время находится точно напротив Солнца) и по протекшему интервалу времени и среднему движению Луны. По долготам получается точное совпадение (с точностью до 1"), а по аномалии — с расхождением на 17 мин (за 854 года с лишним). Отсюда Птолемей находит поправку к ранее принятому среднему суточному движению Луны по аномалии, достигающему 12 единиц четвертого шестидесятеричного разряда (¹/₃₀₀ угловых секунд в сутки) [17. С. 204].

Далее Птолемей обращается к движению Луны по широте. Чтобы уточнить длину драконического месяца (полного оборота Луны относительно узла ее орбиты), он решает выбрать два лунных затмения, разделенные как можно большим временным интервалом и удовлетворяющие следующим четырем условиям [17. С. 206]:

1)  величина затмения (его наибольшая фаза) должна быть одинакова;

2)   оба затмения должны происходить вблизи того же узла (например, восходящего);

3)  тень Земли должна закрывать ту же сторону Луны (например, северную);

4)  Луна должна быть примерно на том же расстоянии от Земли.

При соблюдении этих условий Луна должна при обоих затмениях находиться в одинаковых положениях относительно узла.

Птолемей выбирает для своего расчета следующие два лунных затмения, удовлетворяющие всем четырем условиям:

— 490 апрель 25/26 6 ч (наблюдалось в Вавилоне),

125 апрель 5/6 20,4 ч (наблюдалось в Александрии).

Интервал времени между ними составляет 615 лет 133 сут 21 ч 50 мин. Здесь, как и в других расчетах, куда входят большие промежутки времени, Птолемей использует египетский год, равный точно 365 сут. Это должны помнить те читатели, которые любят вычислять и уже были готовы упрекнуть автора книги в неточности, а то и в ошибке, поскольку простое вычитание дат дает интервал 614 лет 345 сут 14 ч. Но эти даты и только что полученный интервал выражены в юлианских годах (365,25 сут). За 615 лет разница между юлианскими и египетскими годами составит как раз 153 сут 18 ч.

Очевидно, что за этот период прошло целое число драконических месяцев, по таблицам же средних движений Луна должна была пройти дугу, на 9°53' меньшую. Из циклов Гиппарха следовала разность в 10°02', так что разность истинного и среднего движений по широте у Птолемея отличалась от значения, вытекавшего из циклов Гиппарха, всего лишь на 9'. Поправка к среднему, суточному движению по широте измерялась, таким образом, восемью единицами четвертого шестидесятеричного разряда (в долях градуса) или ¹/₄₅₀ угловой секунды [17. С. 207].

Переводя исправленные Птолемеем значения средних движений Луны по аномалии и широте в длины аномалистического и драконического месяцев, получим для них значения 27,554572 и 27,212221 сут соответственно. Сравнивая их со значениями, приведенными ранее, мы видим, что для драконического месяца поправка Птолемея несколько улучшила результат (и без того прекрасно согласующийся с современными данными), а для аномалистического, напротив, несколько ухудшила его. Этому не приходится удивляться, поскольку положение апогея методом Птолемея определяется менее точно, чем положение узлов орбиты Луны.

Эта часть приближенной теории видимого движения Луны завершается вычислением долготы, аномалий и аргумента широты Луны (ее положения относительно узла орбиты) в начальную эпоху, за которую, как мы помним, Птолемей принимает начало 1-го дня месяца тот (по египетскому календарю)  1-го года эры Набонассара. Долготу и аномалию Луны в начальную эпоху он вычисляет без труда, отсчитав нужное число градусов и их долей на 27 лет назад от момента лунного затмения—719 г., для которого эти величины ему были известны. Чтобы найти аргумент широты, Птолемей прибегает к следующему остроумному приему.

Он выбирает два лунных затмения, разделенных большим промежутком времени и удовлетворяющих первому, третьему и четвертому из условий, сформулированных выше, но происходивших вблизи противоположных узлов. Луна во время этих затмений была к северу от узлов А и G (рис. 19), в точках D и Е проекции своей орбиты на небесную сферу. Расстояния AD и GE в силу первого и третьего условий равны. Рассчитываем поправки па первое неравенство и находим точки Z и H положения «средней Луны». По разности эпох определяем дугу ZBH смещения «средней Луны» за интервал между затмениями. Поскольку дуги ZBH, DZ и ЕH нам известны, а дуга ABG равна 180°, не представляет труда найти удаление Луны от узлов AD=GE в моменты затмений (это и есть аргумент широты), а затем с помощью таблиц средних движений найти значение этого узла в начальную эпоху. Этим, собственно, и завершается приближенная теория движения Луны.

В заключительной главе четвертой книги Птолемей обсуждает некоторые расчеты Гиппарха, относящиеся к движению Луны, и вносит в них уточнения.

Разработанная в четвертой  книге  «Альмагеста»   теория, как указывает ее автор в начале пятой книги своего труда, хорошо представляет положения Луны в сизигиях (в полнолуниях и новолуниях), но при других положениях Луны она требует уточнения. Это понимал еще Гиппарх, и потому он начал наблюдать положения Луны вне сизигий с помощью угломерного инструмента типа описанной Птолемеем астролябии. Птолемей приводит и использует три его наблюдения, выполненные 5 августа — 127 г., 2 мая и 7 июля — 126 г. Интересно, что эти три наблюдения — самые поздние наблюдения Гиппарха, дошедшие до нас. Не означает ли это, что смерть помешала вскоре замечательному родосскому астроному продолжить эти наблюдения и определить предполагавшееся им второе неравенство движения Луны?

Эту задачу, поставленную Гиппархом, решил Клавдий Птолемей. Из наблюдений Гиппарха и своих собственных Птолемей установил [17. С. 225], что в квадратурах (в первой и последней четверти, когда Луна находится в 90° от Солнца) амплитуда первого неравенства возрастает примерно до 7°40'. Геометрически он представил это следующим образом (рис. 20). Центр эпицикла движется не по эклиптике, а по эксцентру, так что Земля находится на некотором расстоянии от его центра О. Поскольку обе сизигии и обе квадратуры равноправны, Птолемей совмещает их попарно, так что сизигии приходятся на апогей эксцентра, а квадратуры — на перигей. Эта операция равнозначна удвоению дуг на эксцентре, что компенсируется удвоением скорости движения центра эпицикла по эксцентру. Таким образом, угол ATO₁ между осью апсид эксцентра АР и направлением на центр эпицикла TO₁ равен 2D, где D — элонгация Луны от Солнца. В сизигиях D = 0 или D = 180°, а значит, 2D = 0 и точка O₁ совпадает с апогеем эксцентра А. В квадратурах D = ±90°, 2D = 180° и O₁ совпадает с перигеем эксцентра Р.

Из соотношений амплитуд первого неравенства в апогее и перигее эксцентра Птолемей получает значение эксцентриситета ОТ. Поскольку радиус эпицикла остается неизменным и известен из расчетов первого неравенства (в долях расстояния ТА, принятого за 60^р), нетрудно по величине этого радиуса, равной 5;15^р и по углу 7°40', под которым виден эпицикл из Т, когда его центр совпадает с Р, найти расстояние ТР, диаметр эксцентра РА, его радиус ОА и эксцентриситет е = ОТ/ОА. Птолемей получает ОТ = 10;19^р, е = 0,20765, относительный радиус эпицикла (в долях радиуса эксцентра) r = 0,10567.

Теперь и для сизигий, и для квадратур все обстоит хорошо! Но наблюдения Луны в промежуточные моменты требуют ввести в лунную теорию еще одно усложнение. Именно, за начало отсчета обращения Луны по эпициклу принимается так называемый средний апогей эпицикла, лежащий на прямой, пересекающей ось апсид эксцентра не в T и не в его центре О, а в некоторой точке N, отстоящей от Т на расстояние NT=TO (см. рис. 20). Птолемей доказывает, основываясь на нескольких типичных наблюдениях, что действительно NT=TO [17. С. 228-233]. Наряду со средним апогеем (и соответственно средним перигеем) Птолемей рассматривает также истинные апогей и перигей эпицикла, лежащие на прямой TO₁ и ее продолжениях. Это точки а и р. Угол z = aO₁a_c называется у Птолемея «уравнением апогея». Н. И. Идельсон в своем превосходном обзоре развития лунной теории [54] называет этот угол «неравенством аномалии», что в общем-то является тавтологией, ибо аномалия и неравенство — синонимы. Мы будем применять терминологию Птолемея.

Уравнение апогея, как показывает Птолемей, изменяется в пределах от 0° (в сизигиях и квадратурах) до максимального значения 13°09' при 2D=114° [17. С. 238].

Теперь все готово для построения полной теории движения Луны. Птолемей вычисляет таблицу всех лунных неравенств и объясняет, как с ее помощью найти для любого момента долготу, широту, аномалию (угол, отсчитываемый от апогея эксцентра) и элонгацию Луны от Солнца.

Рассмотрим теперь эту теорию с современной точки зрения. Вся сложная на первый взгляд кинематика движения Луны по Птолемею может быть описана тремя формулами элементарной математики, которые приводит Н. И. Идельсон [54]:

Здесь ρ —переменный радиус-вектор центра эпицикла O₁T; Z —средняя аномалия Луны (угол p_cO₁L); E—общее неравенство долготы, которое нужно прибавить к средней долготе, растущей пропорционально времени. По смыслу величина Е соответствует уравнению центра х для Солнца (см. с. 32, 75), но по традиции обозначается буквой Е. Точно так же угол 2D в данной теории равен 2М, по только благодаря условию, что сизигии Луны совпадают с апогеем эксцентра (с. 88).

Формулы для z и Е встречаются в теории астрономического параллакса. Они допускают удобные разложения в ряды [56]:

где r' = r(l+³/₄e²).

Подставляя в эти формулы r = 0,10567 и е = 0,20765 по Птолемею и переводя углы из радианов в градусы, получаем

Еще раз оговоримся, что синусов Птолемей не знал (он пользовался хордами), и формул, приведенных выше, в его сочинении мы не встретим. Но из его геометрии следуют эти формулы. Коэффициенты, приводимые самим Птолемеем, несколько отличаются от тех, что получились по формулам при значениях r и e, им выведенных. Именно, с коэффициентами Птолемея получилось бы такое выражение:

«К этой короткой формуле и сводится вся древняя теория Луны в отношении ее долготы, — пишет Н. И. Идельсон, — но эта теория оказывается великолепной, так как современное разложение для Е — сохраняя в нем, разумеется, только члены с теми же аргументами — гласит:

Согласие настолько замечательное, что его можно в известной мере считать делом случая» [54].

Да, с Н. И. Идельсоном вполне можно согласиться. Ведь кинематика, построенная Птолемеем для объяснения второго лунного неравенства, ниоткуда не вытекала, она построена, скорее всего, в результате ряда проб, о которых Птолемей, правда, ничего не сообщает, но без которых вряд ли он смог обойтись. В частности, равенство расстояний NT=TO доказывается Птолемеем не в общем виде, как многие его теоремы, а с помощью численных примеров, основанных на наблюдениях. Вскоре мы убедимся, что можно было использовать совсем иную кинематику.

А теперь рассмотрим физический смысл трех членов выражения для неравенства долготы Е. Первый член называется главным эллиптическим неравенством. Период его аргумента l равен среднему аномалистическому месяцу (27,55 сут). Этот член, как и третий, связан с эллиптичностью лунной орбиты.

Второй член с аргументом 2D—l был впервые найден и введен в лунную теорию Птолемеем. Птолемей назвал его «покачиванием» лунного апогея. В 1634 г. французский астроном И. Бульо, более известный под латинизированным именем Буллиальд (1605—1694), предложил для этого неравенства название эвекция, которое и стало с тех пор общепринятым [95]. Период эвекции равен 31,81 сут. Профессор Петербургского университета Н. П. Долгоруков в своей монографии «Теория движения Лупы» (1902) [49] предложил называть этот период «птолемеевым месяцем», о чем сообщает в своем обзоре Н. И. Идельсон. Но это предложение не получило поддержки и, скорее всего, прошло незамеченным.

Открытие Птолемеем эвекции получило весьма высокую оценку астрономов нового времени. Французский астроном и историк науки Ж. Деламбр (1749—1822) в своей шеститомной истории астрономии [96] отмечает, что одного этого открытия было бы достаточно, чтобы поставить Птолемея в первые ряды астрономов. А ведь Деламбр относился к работе Птолемея весьма критически, и с его критикой мы еще познакомимся. Такой классик небесной механики, как П. Лаплас, отметил громадный вычислительный труд Птолемея при составлении таблицы лунных неравенств [111], хотя итог этого труда —сама таблица — занимает всего одну страницу.

Лишь полтора тысячелетия спустя Тихо Браге открыл следующие два неравенства в движении Луны — вариацию и годичное уравнение. И прошло еще сто лет, пока Исаак Ньютон не объяснил физическую природу этих неравенств. Оказалось, что причиной эвекции является изменение положения Луны относительно Солнца: в новолуние Луна ближе к Солнцу, чем Земля, и притяжение Солнца стремится как бы отдалить Луну от Земли. Благодаря эвекции орбита Луны стремится вытянуться по направлению к Солнцу. Эвекция периодически изменяет эксцентриситет лунного эллипса и влияет на положение перигея.

Вариация заключается в периодическом изменении скорости движения Луны по орбите под действием Солнца. Ее наибольшее значение составляет 39,5' и достигается в октантах (точках, лежащих между квадратурами и сизигиями). Годичное уравнение (доходящее до 11,2') объясняется тем, что возмущающее действие Солнца достигает максимума в перигелии и минимума в афелии земной орбиты.

Эти возмущения в движении Луны — лишь главнейшие. Современная теория движения Луны представляет долготу, широту и расстояние Луны рядами, состоящими из нескольких тысяч членов. Составление этих рядов и вычисление их членов и сумм производится теперь с помощью ЭВМ.

Таких вычислительных средств и в помине не было у Клавдия Птолемея. Он имел линейку, циркуль, угольник, транспортир, да еще простейшие астрономические угломерные инструменты, которые мы описывали. Он располагал данными вавилонских и греческих наблюдателей, работами Гиппарха, в совершенстве знал геометрию Евклида, имел ясный ум и способности к математическому анализу. И все это дало свои плоды.

Однако теория движения Луны, развитая Птолемеем, давала лишь возможность определять ее положение на небе — долготу и широту. Изменение расстояния Луны от Земли эта теория представить не могла. Более того, она приводила к серьезным противоречиям с наблюдениями. В самом деле, согласно этой теории наибольшее расстояние Луны от Земли в единицах радиуса эксцентра ОА составляло 1,31 (1+0,208+0,106), а наименьшее 0,69 (1-0,208—0,106). Их отношение равнялось 1,9, тогда как действительное отношение наибольшего расстояния до Луны к наименьшему составляет 1,14. Даже из наблюдений невооруженным глазом ясно, что видимый угловой диаметр Луны меняется в очень малых пределах (не более чем на 14%), а никак не вдвое, как следовало из теории Птолемея.

Не надо думать, что Птолемей прошел мимо этого обстоятельства. Нет, заключительные главы книги посвящены именно определению лунных параллаксов и расстояний. Из своей схемы Птолемей находит, что среднее расстояние до Луны в сизигиях равно 59 земным радиусам (с возможными колебаниями от 54 до 64 радиусов Земли), а в квадратурах — 38,7 радиуса (с разбросом от 33,6 до 43,8 радиуса Земли [17. С. 259]). Истинные пределы расстояния до Луны в наше время составляют 55,9 и 63,8 земного радиуса. Иначе говоря, пределы расстояния для сизигий у Птолемея почти равны действительным, а среднее расстояние отличается от действительного (60 радиусов) лишь на 2%.

Почему же Птолемей не заметил столь разительного противоречия между полученными им расстояниями и видимыми размерами Луны в квадратурах? Ведь приводит же он видимый диаметр Луны во время одного из лунных затмений, наблюдавшихся в Вавилоне в —522 г., 31'20", что вполне соответствует современным данным (видимый диаметр Луны изменяется в пределах от 29' 23" до 33' 31"). Но видимых размеров Луны в квадратурах Птолемей не приводит.

Это обстоятельство не раз служило темой для дискуссий среди астрономов и историков науки. Пожалуй, одним из первых обратил на него внимание Коперник. Великий польский ученый нашел другое решение задачи о движении Лупы, по-прежнему основанное на концепции равномерных круговых движений. Он убрал эксцентр, поместил Землю в центре деферента, но добавил второй эпицикл, центр которого движется по первому эпициклу⁷. В схеме Коперника (рис. 21) центр первого эпицикла А движется по деференту ВВ вокруг точки Т в прямом направлении с равномерной скоростью, равной среднему движению Луны по долготе. По этому эпициклу движется центр второго эпицикла О в обратном направлении с угловой скоростью, равной среднему движению Луны по аномалии l. Началом счета угла аномалии при центре эпицикла А является его перигей p₁. По второму эпициклу в прямом направлении движется точка L, изображающая Луну. Ее угловая скорость равна удвоенной скорости движения Луны по элонгации се от Солнца, так что угол ОAL всегда равен 2D. В сизигиях точка L проходит через точку р₂, лежащую на прямой ОА, а в квадратурах — через противоположную ей точку а₂. Таким образом, в течение синодического месяца Луна дважды обходит второй эпицикл. Коперник определил из наблюдений лунных затмений радиусы обоих эпициклов в долях радиуса деферента и нашел r₁=0,1097, r₂=0,0237. Разложение в ряд выражения для неравенства Луны но долготе в этой схеме дает:

E=6°17' sin l + 1°21' sin (2D - l) + 21' sin 2l,

т. е. согласие с современными значениями коэффициентов оказывается не хуже, чем у Птолемея. Зато наибольшее и наименьшее расстояния до Луны в этой схеме составляют (в тех же единицах) 1,13 и 0,87 соответственно, а их отношение — 1,30, что уже гораздо ближе к реальному значению 1,14.

Мы видим отсюда, что, действительно, схема Птолемея, изображавшая движение Луны, была искусственной и во многом уступала схеме Коперника. К этому надо добавить, что в схеме Коперника нет двух перигеев и апогеев (среднего и истинного), нет неравномерных движений (у Птолемея центр эпицикла движется по эксцентру неравномерно), нет «качания» перигея эпицикла. Такую схему вполне мог бы придумать и сам Птолемей. Мог, но не придумал. В шестой книге «Альмагеста» развивается теория солнечных и лунных затмений. Прежде всего Птолемей вычисляет таблицы новолуний и полнолуний на  1100 лет, начиная от 1-го года эры Набонассара, т. е. от —746 до 355 г. В этих таблицах он дает даты месяца тот (первый месяц года по египетскому календарю), когда наступает новолуние или полнолуние, с точностью до 24 с,  угловое расстояние Солнца от его апогея⁸, аномалию Луны и аргумент ее широты. Птолемей использует то обстоятельство, что 25 египетских лет (по 365 сут), т. е. 9125 сут, почти равны  309  синодическим  месяцам — разница  составляет лишь 0,05 сут, или 1 ч 07 мин. Поэтому в первой части таблицы все данные приведены через 25-летние интервалы, во второй — для каждого года такого интервала и в третьей —для  каждого  месяца  года.   Вся  таблица  умещается в трех страницах.

Но, как известно, затмения Солнца и Луны происходят не в каждое новолуние или полнолуние. Нужно, чтобы Луна в сизигии была бы недалеко от одного из узлов своей орбиты. Согласно А. А. Михайлову [73], для наступления частного солнечного затмения па Земле вообще разность долгот Луны и узла не должна превышать 18°, а если этот угол меньше 16°, то затмение неизбежно наступит в каком-то месте Земли (при промежуточных значениях наступление затмения зависит от положения Солнца и Луны относительно перигеев их орбит). Точно так же для наступления частного лунного затмения удаление Луны от узла не должно превышать 12°, а при разности долгот меньше 10° затмение неизбежно.

Приведенные выше условия для солнечного затмения выведены для всей Земли. Конкретный наблюдатель в зависимости от места и времени суток может оказаться севернее или южнее центра Земли, и для него Луна окажется смещенной в результате параллакса соответственно к югу или к северу. Птолемей пытается учесть это смещение. Он выбирает крайние широты пунктов наблюдений — от +16° 30' (в городе Мероэ при впадении реки Атбары в Нил, современный Судан) до +48°30' (среднее течение Днепра, тогда Борисфена). Крайние значения параллакса Луны для этих пунктов составляют от 8' к северу до 58' к югу. Поэтому условия наблюдений солнечных затмений будут разными в зависимости от того, находится ли Луна севернее или южнее узла. Если Луна севернее узла, то параллакс, смещая ее к югу, улучшает условия наступления солнечного затмения, расширяя область благоприятных долгот Луны до расстояния 17° 41' от узла⁹. Если же Луна южнее узла, ее смещение еще дальше к югу ухудшает условия наступления солнечного затмения, сужая допустимый интервал по долготе до 8°22'. Мы видим, что первое из приведенных двух значений близко к пределу, указанному А. А. Михайловым, что неудивительно, так как этот предел рассчитан для параллакса Луны (точнее, для разности параллаксов Лупы и Солнца) 61,3', что мало отличается от 58' у Птолемея.

Птолемей в общем правильно представляет себе и объясняет читателю геометрическую картину явлений, приводящих к солнечному или лунному затмению. Для условия наступления лунного затмения он находит предельное расстояние Луны от узла 12°12', т. е. близкое к приведенному А. А. Михайловым.

Указанные выше расстояния от узла по долготе относятся к истинной Луне. Учитывая неравенства в движении Луны и Солнца по долготе, Птолемей находит, что наибольшее отличие разности средних долгот обоих светил в среднюю сизигию и разности их истинных долгот в истинную сизигию может достигать 3°. Эту поправку оп прибавляет к найденным им предельным расстояниям Луны от узла, расширяя их до 20°41', 11°22' и 15°12' соответственно (очевидно, такая операция нужна для тех, кто будет пользоваться таблицами средних сизигий).

После обсуждения вопроса об интервалах времени между затмениями Птолемей приступает к составлению своих таблиц затмений. Он строит их по аргументу величины затмения. Напомним, что величиной затмения называется отношение закрываемой (Луной или тенью Земли) доли диаметра закрываемого светила (соответственно Солнца или Луны) к самому диаметру. Если величина затмения превосходит единицу, затмение будет полным.

Птолемей измеряет величину затмения в двенадцатых долях диаметра затмеваемого светила. Иначе говоря, полному затмению (величина 1,00) соответствуют 12 единиц. Но так как диск Луны может быть больше диска Солнца, для наименьшего расстояния Луны от Земли величина затмения у Птолемея может достигать 12⁴/₅ единиц, т. е. 1,067.

Это несколько больше современного значения 1,032, что объясняется завышением Птолемеем наибольшего видимого диаметра Луны (см. ниже). При наибольшем расстоянии Луны, согласно Птолемею, величина затмения может достигать точно 12 единиц (1,00 в современных обозначениях). О кольцеобразных затмениях Птолемей даже не упоминает. Очевидно, ему просто не была известна эта форма затмений Солнца, хотя кольцеобразные затмения столь же часты, как и полные (согласно А. А. Михайлову [73], в течение сароса происходит 12 полных затмений, 14 кольцеобразных и два кольцеобразно-полных, когда в разных частях полосы главной фазы наблюдается то кольцеобразное, то полное затмение).

Другое, более важное обстоятельство, на которое мы должны обратить внимание, состоит в том, что значения наибольшего и наименьшего видимого диаметра получены Птолемеем из наблюдений лунных затмений 16—17 июля —540 г. в Вавилоне, когда Луна была близ апогея своей орбиты, и 27—28 января —140 г. (Гиппарх, о-в Родос), когда Луна была около перигея. Ее видимые диаметры для этих эпох были определены Птолемеем в 31'20" и 35'20" соответственно. На самом деле наименьший и наибольший видимые диаметры Луны равны 29'22" и 33'30". Видимый диаметр Солнца Птолемей принимает постоянным и равным 31'20", тогда как оп может изменяться в пределах от 31'28" до 32'32" [73].

Таким образом, Птолемей совершенно не использует для этих определений свою же собственную теорию движения Солнца н Луны, а опирается на давние, к тому же весьма неточные наблюдения (в них отмечалось, например, что в наибольшей фазе затмения была закрыта ¹/₄ диаметра Луны; эта оценка сделана, по-видимому, просто на глаз).

Между тем из теории Птолемея следовало, что в сизигиях отношение наибольшего расстояния до Луны к наименьшему составляет

тогда как использованные им наибольший и наименьший видимые диаметры Луны относятся как 1,128 (в действительности это отношение равно 1,141). Для Солнца теория Птолемея дает аналогичное отношение 1,083, в действительности тогда оно было равно 1,04 (см. с. 76).

Мы снова видим наличие противоречий между теорией Птолемея и используемыми им (а значит, внушавшими ему доверие) наблюдениями. На этот раз Птолемей отдает предпочтение последним. Но он никак не обсуждает это противоречие и даже не упоминает о нем.

Как же рекомендует вычислять условия видимости солнечного затмения в данном пункте Клавдий Птолемей? Прежде всего нужно вычислить время соединения Солнца и Луны по долготе: это время приближенно равно моменту середины затмения. На это время следует рассчитать параллакс Луны по долготе и с учетом параллакса — ее видимую долготу. Если разность долгот Луны и узла окажется меньше 6° (когда Луна в апогее) или 6° 24' (когда Луна в перигее), то затмение непременно произойдет. Его величина   (наибольшая  фаза)   определяется по  таблице.

Там же приведена величина дуги, которую проходит Луна относительно Солнца от внешнего касания дисков (первый контакт) до наибольшей фазы. Аналогичный метод предлагается для лунного затмения, только здесь параллакс уже не играет роли (вхождение Луны в тень Земли не зависит от положения наблюдателя).

В приложении к своим таблицам Птолемей приводит так называемые поверхностные фазы для солнечных и лунных затмений, т. е. доли площади диска Солнца или Луны, закрытой соответственно Луной или тенью Земли. Интересно сравнить эти данные Птолемея с современными таблицами, рассчитанными М. М. Дагаевым в «Постоянной части Астрономического календаря» [24]. На рис. 22 мы приводим отношения поверхностной и линейной фаз затмения в функции линейной фазы по данным Птолемея и по современным данным. Нетрудно убедиться, что точки Птолемея, кроме одной-двух при малых фазах прекрасно ложатся на современную кривую.

Последний вопрос, который рассматривается в VI книге «Альмагеста», это вопрос об углах положений точек контактов (внешних и внутренних касаний) дисков Солнца и Луны, Луны и земной тени во время затмений. Птолемей дает решение и этой задачи.

Теория солнечных и лунных затмений — одно из важнейших применений созданной Птолемеем теории движения Луны. Мы уже убедились, что птолемеева теория движения Луны была великолепной для уровня античной и средневековой науки,  когда   наблюдения  производились невооруженным глазом, без оптических приборов. Но эта теория давала лишь видимые положения Луны на небесной сфере. Попытка Птолемея представить своей теорией расстояния до Луны оказалась неудачной. Видимо, Птолемей сам понимал это и в теории затмений использовал не теоретические видимые диаметры Луны, а взятые по данным наблюдений.

Кинематическая теория движения Луны, построенная Птолемеем, явилась лишь моделью, схемой для вывода формулы долготы Луны. Эту задачу Птолемей решил успешно. Но он оказался бессилен перед решением задачи о пространственном движении Луны. Эта задача оказалась по силам только Ньютону.

Примечания

3  Соединением называется такое расположение двух светил, когда они проходят через небесный меридиан одновременно или же имеют одинаковую долготу (соединения по долготе).

4  Это рассуждение верно только для центрального лунного затмения, когда центр диска Луны проходит через центр земной тени. Во всех остальных случаях Луна в середине полного затмения может отклоняться от «антисолнца» до 40' по широте и до 4' по долготе.

5 Минимальный. интервал между двумя последовательными лунными затмениями составляет 176 сут, максимальный — 080 сут.

6 Чтение труда Птолемея несколько затрудняется тем, что он называет одним и тем же словом аномалия и угол положения Луны относительно апогея, и неравенство (отклонение) лунной долготы от ее средней долготы. Правда, вторую величину он называет уравнением аномалии.

7  Коперник назвал второй эпицикл эпи-эпициклом.

8  При этом Птолемей не учитывает смещение солнечного апогея, о чем мы говорили в гл. 7.

9  Птолемей в этом расчете всюду принимает наклон лунной орбиты к эклиптике i = 5°, откуда вытекает используемое им отношение дуг: (расстояние Луны от узла): (широта Луны) = 11,5:1 (равное cosec i). Но из-за движения Солнца по эклиптике в формулы войдет не i,  a  i' > i (5°17' < i' < 5°52') [73]. Поэтому используемое Птолемеем отношение может меняться от  9,8:1  до 10,9:1.